《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項和學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項和學案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第3講 等比數(shù)列及其前n項和
板塊一 知識梳理·自主學習
[必備知識]
考點1 等比數(shù)列的有關概念
1．定義
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為＝q.
2．等比中項
如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab(ab≠0)．
考點2 等比數(shù)列的有關公式
1．通項公式：an＝a1qn－1.
2．前n項和公式：Sn＝
[必會結論]
等比數(shù)列的常用性質
(1)通項公式的推廣：a
2、n＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a.
(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
(6)等比數(shù)列{an}滿足或時，{an}是遞增數(shù)列；滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．
3、[考點自測]
1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列．( )
(2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．( )
(3)G為a，b的等比中項?G2＝ab.( )
(4)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．( )
(5)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．[2018·河南名校聯(lián)考]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an
4、}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，則公比q的值為( )
A. B. C．2 D．3
答案 D
解析 由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因為等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，所以q＝a1＝3.故選D.
3．[課本改編]等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9.
所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.故選C.
4．[2018·黃岡調(diào)研]設等比數(shù)列{an}中，公比
5、q＝2，前n項和為Sn，則的值( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根據(jù)等比數(shù)列的公式，得＝＝＝＝.
5．[2015·全國卷Ⅰ]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________.
答案 6
解析 ∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
6．[2018·衡中檢測]在等比數(shù)列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，則a3＝________.
答案 4或－4
解析 設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，則
6、兩式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
所以或故a3＝4或a3＝－4.
板塊二 典例探究·考向突破
考向 等比數(shù)列的基本運算
例 1 (1)[2017·全國卷Ⅱ]我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞
答案 B
解析 設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
7、故選B.
(2)[2017·江蘇高考]等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________.
答案 32
解析 設{an}的首項為a1，公比為q，
則
兩式相除得＝＝，
解得所以a8＝×27＝25＝32.
觸類旁通
等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關公式，并靈活運用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算的過程．
【變式訓練1】 (1)[2018·東北師大附中月考
8、]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，則＝( )
A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1
答案 D
解析 設等比數(shù)列的公比為q，由題意，
得解得
則an＝a1·n－1＝，Sn＝＝，所以＝2n－1.故選D.
(2)[2018·安徽皖江名校聯(lián)考]已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝________.
答案 128
解析 ∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(負值舍去)，
∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3，
∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，
9、∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.
考向 等比數(shù)列的性質
命題角度1 等比數(shù)列性質的應用
例 2 (1)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝( )
A．5 B．7 C．6 D．4
答案 A
解析 (a1a2a3)×(a7a8a9)＝a＝50，a4a5a6＝a＝5.選A.
(2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________.
答案 31
解析 a3a5＝a2a6＝64，因為a3＋a5＝20，所以a3和a5為方
10、程x2－20x＋64＝0的兩根，因為an>0，q>1，所以a3
11、，則S4n等于( )
A．80 B．30 C．26 D．16
答案 B
解析 由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．
設S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.
觸類旁通
等比數(shù)列的性質應用問題
(1)等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項
12、和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
(2)巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．
考向 等比數(shù)列的判定與證明
例 4 [2018·蘭州模擬]已知數(shù)列{an}滿足對任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.
(1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)因為an＋1＝5an－2·3n，
所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，
又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，
所以數(shù)列{an－3n}是首項為5
13、、公比為5的等比數(shù)列．
所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.
(2)由(1)知，bn＝＝＝1＋n，
則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋＝＋n－.
觸類旁通
等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(2)等比中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(4)前n項和公式法：若數(shù)列{
14、an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．
提醒 前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．
【變式訓練2】 已知數(shù)列{an}滿足2a1＋4a2＋…＋2nan＝.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Tn.
解 (1)證明：當n＝1時，由2a1＝1，得a1＝，
當n≥2時，由2a1＋4a2＋…＋2nan＝，得
2a1＋4a2＋…＋2n－1an－1＝，
于是2nan＝－＝n，
整理得＝n，又a1＝符合上式，
所以數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)由(1)得，an＝n·n，Tn＝1×1＋2
15、×2＋3×3＋…＋n×n，①
Tn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×n＋1，②
由①－②得Tn＝1＋2＋3＋4＋…＋n－n×n＋1，
即Tn＝1＋1＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝－n×n＝2－2×n－n×n＝2－.
核心規(guī)律
1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三個，即可求得其余兩個，這體現(xiàn)了方程思想．
2.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項法，其他方法用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．
滿分策略
1.求解等比數(shù)列的問題，要注意等比數(shù)列性質的應用以減少運算量，而提高解題速度．
2.在運用等比數(shù)列的前
16、n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
易錯警示系列7——數(shù)列中的思維定式致誤
[2018·武漢檢測]已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
錯因分析 本題易錯的原因是受q>0的思維定式的影響，遺漏當q<0時的情況，認為S3＝＋1＋q≥3.
解析 因為等比數(shù)列{an}中a2＝1，設其公比為q，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.
當公比q>0時
17、，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，當且僅當q＝1時，等號成立；
當公比q<0時，S3＝1－≤1－2＝－1，當且僅當q＝－1時，等號成立．
所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案 D
答題啟示 等比數(shù)列的公比q<0時，相鄰兩項一定異號，相隔一項的兩項符號一定相同；等比數(shù)列的公比q>0時，數(shù)列中的各項符號相同；用等比數(shù)列前n項和公式時，如果其公比q不確定，要分q＝1和q≠1兩種情況進行討論.
跟蹤訓練
已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
答案 D
解析 由已知得
解得或
當
18、a4＝4，a7＝－2時，易得a1＝－8，a10＝1，
從而a1＋a10＝－7；
當a4＝－2，a7＝4時，易得a10＝－8，a1＝1，
從而a1＋a10＝－7.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級 基礎達標]
1．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于( )
A．3 B．－3 C．－1 D．1
答案 A
解析 兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得＝3＝q.故選A.
2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝( )
A．2 B．1 C. D.
答案 C
解析 設等比數(shù)列{
19、an}的公比為q，a1＝，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝.故選C.
3．[2018·江西九江一模]已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝( )
A．2n－2－ B．2n－1－
C．2n－1 D．2n＋1－2
答案 B
解析 因為a2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝，所以Sn
20、＝＝2n－1－.故選B.
4．[2018·延慶模擬]等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
答案 A
解析 ∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，
∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
將d＝2代入上式，解得a1＝2，
∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)．故選A.
5．[2015·全國卷Ⅱ]已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 設等比數(shù)
21、列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B.
6．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a3a5＝a1，且a4與a7的等差中項為，則S5等于( )
A．35 B．33 C．31 D．29
答案 C
解析 設等比數(shù)列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31.故選C.
7．[2018·昆明模擬]設Sn是等比
22、數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝( )
A．2 B. C. D．1或2
答案 B
解析 設S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，S4＝3k，∴＝＝.故選B.
8．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則的值為________．
答案
解析 因為1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以＝.
9．商家通常依
23、據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－
24、1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．
10．等比數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，則公比q＝________.
答案 2
解析 由題知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，故q＝2.
[B級 知能提升]
1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝x·3n－1－，則x的值為( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 解法一：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由上述結論，得＝，∴x＝.
解法二：當n＝1時，a1＝S1＝x－；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
25、＝2x·3n－2.
∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時也應適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.故選C.
2．記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為( )
A．4 B．7 C．10 D．12
答案 A
解析 因為{an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，則a－2am＝0.所以am＝2. 由等比數(shù)列的性質可知前2m－1項積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.選A.
3．[2016·全國卷Ⅰ]設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2
26、＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
答案 64
解析 設{an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝n－4(n∈N*)，即數(shù)列為遞減數(shù)列．當n≤4時，an≥1；當n≥5時，0
27、n}的公差為d.
因為a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，
解得d＝2，所以an＝2n－1.
(2)設等比數(shù)列{bn}的公比為q，
因為b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，
所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.
從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)由an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得an＋1－an＝2(an－an－1)，
因此數(shù)列{an＋1－an}是公比為2，首項為a2－a1＝2的等比數(shù)列．
所以當n≥2時，an－an－1＝2×2n－2＝2n－1，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1＋2n－2＋…＋2)＋2＝2n，
當n＝1時，也符合，故an＝2n.
(2)由(1)知bn＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋①，
Tn＝＋＋＋…＋②，
①－②，得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋2－
＝＋2×－
＝＋1－－
＝－，
所以Tn＝3－.
13
（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項和學案
