《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4(12頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4
內(nèi)容要求 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2 x=1,=tan x (重點(diǎn)).2.會(huì)運(yùn)用以上兩個(gè)基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡、證明(難點(diǎn)).
知識點(diǎn) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
【預(yù)習(xí)評價(jià)】
1.已知α是第二象限角,sin α=,則cos α=( )
A.- B.-
C. D.
答案 A
2.已知α是第四象限角,且tan α=-,則sin α=( )
A.- B.
C. D.-
答案 A
題型一 利用同角基本關(guān)系式求
2、值
【例1】 已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
解 ∵cos α=-<0,且cos α≠-1,
∴α是第二或第三象限角,
(1)當(dāng)α是第二象限角時(shí),則
sin α= = =,
tan α===-.
(2)當(dāng)α是第三象限角時(shí),則
sin α=-=-,tan α=.
規(guī)律方法 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系,其最基本的應(yīng)用是“知一求二”,要注意這個(gè)角所在的象限,由此來決定所求的是一解還是兩解,同時(shí)應(yīng)體會(huì)方程思想的應(yīng)用.
【訓(xùn)練1】 已知sin α=m(|m|≤1),求tan α的值.
解 當(dāng)m=0時(shí),cos α=±1,tan α==0;
3、
當(dāng)m=±1時(shí),α的終邊在y軸上,cos α=0,tan α無意義;
當(dāng)α在第一、四象限時(shí),cos α>0,
∴cos α==
∴tan α==;
當(dāng)α在第二、三象限時(shí),cos α<0,
∴cos α=-=-.
∴tan α===.
題型二 已知正切求值
【例2】 已知tan α=2.求:
(1);
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
解 (1)原式===-2.
(2)原式=
===1.
規(guī)律方法 知切求弦常見的有兩類:
1.求關(guān)于sin α、cos α的齊次式值的問題,如果cos α≠0,則可將被求式化為關(guān)于tan α的表達(dá)式,然后整體代
4、入tan α的值,從而完成被求式的求值問題.
2.若不是sin α,cos α的齊次式,可利用方程組的消元思想求解.如果已知tan α的值,求形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的值,注意將分母的1化為sin2α+cos2α,將其代入,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的表達(dá)式后求值.
【訓(xùn)練2】 已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1.
求:(1)tan α;
(2).
解?。?)由條件得
=1
?=1
?4tan2α-3tan α-1=0
?tan α=-或tan α=1.
(2)原式=,
當(dāng)tan α=-時(shí),原式=;
當(dāng)tan α=1時(shí),
5、原式=.
方向1 三角函數(shù)式的化簡
【例3-1】 化簡tan α,其中α是第二象限角.
解 因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?
所以sin α>0,cos α<0.
故tan α
=tan α
=tan α
=·
=·
=-1.
方向2 三角恒等式的證明
【例3-2】 求證:=.
證明 左邊==
===右邊,所以等式成立.
方向3 利用sin α±cos α與sin αcos α的關(guān)系解題
【例3-3】 已知在△ABC中,sin A+cos A=.
(1)求sin Acos A的值;
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;
(3)求sin A-cos A的值
6、.
解 (1)∵sin A+cos A=,
兩邊平方得1+2sin Acos A=,
∴sin Acos A=-.
(2)由(1)sin Acos A=-<0,且0<A<π,可知cos A<0,∴角A為鈍角,
∴△ABC是鈍角三角形.
(3)(sin A-cos A)2
=1-2sin Acos A
=.
由(2)知sin A-cos A>0,
∴sin A-cos A=.
規(guī)律方法 1.三角函數(shù)式化簡的三種常用技巧
(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡的目的.
(2)對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根
7、號達(dá)到化簡的目的.
(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡的目的.
2.證明三角恒等式的原則是由繁到簡.常用的方法有:
(1)從一邊開始,證得它等于另一邊;
(2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子;
(3)變更論證,即通過化除為乘、左右相減等,轉(zhuǎn)化成證明與其等價(jià)的等式.
課堂達(dá)標(biāo)
1.已知sin α=,α∈(0,π),則tan α等于( )
A. B.
C.± D.±
解析 ∵sin α=,α∈(0,π),
∴cos α=±=±,
∴tan α==±.
答案 D
2.已知tan α=-,
8、那么sin2α+2sin αcos α-3cos2α的值是( )
A.- B.-
C.3 D.-3
解析 sin2α+2sin αcos α-3cos2α
=
=,
將tan α=-代入上式得-3.
答案 D
3.若tan α=2,且α∈,則sin=________.
解析 ∵tan α==2,∴sin α=2cos α,
又∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.
∵α∈,∴cos α=-.
∴sin=cos α=-.
答案?。?
4.已知sin αcos α=,則sin α-cos α=________.
解析 (sin α-cos α)2=sin2α-
9、2sin αcos α+cos2α
=1-2sin αcos α=.
則sin α-cos α=±.
答案 ±
5.已知sin α+cos α=m,求sin3α+cos3α的值.
解 ∵sin α+cos α=m,∴sin αcos α=.
∴sin3α+cos3α=(sin α+cos α)(sin2α-sin αcos α+cos2α)
=m(1-)=(3-m2).
課堂小結(jié)
1.“同角”有兩層含義:一是“角相同”;二是“任意性”,即關(guān)系式恒成立,與角的表達(dá)形式無關(guān).如:sin23α+cos23α=1等.
2.已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值,求α的其他兩個(gè)三角函數(shù)值時(shí),要特別
10、注意角所在的象限,以確定三角函數(shù)值的符號.
3.計(jì)算、化簡或證明三角函數(shù)式時(shí)常用的技巧:
(1)“1”的代換.為了解題的需要,有時(shí)可以將1用“sin2α+cos2α”代替.
(2)切化弦.利用商數(shù)關(guān)系把切函數(shù)化為弦函數(shù).
(3)整體代換.將計(jì)算式適當(dāng)變形使條件可以整體代入,或?qū)l件適當(dāng)變形找出與算式之間的關(guān)系.
基礎(chǔ)過關(guān)
1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )
A.tan α=-
B.cos α=-
C.sin α=-
D.tan α=
解析 由商數(shù)關(guān)系可知A、D均不正確,當(dāng)α為第二象限角時(shí),cos α<0,sin α>0,故B正確.
答案 B
2.
11、已知=2,則sin θcos θ的值是( )
A. B.±
C. D.-
解析 由題意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),
∴(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2,
解得sin θcos θ=.
答案 C
3.已知α是第二象限的角,tan α=-,則cos α等于( )
A.- B.-
C.- D.-
解析 ∵α是第二象限角,∴cos α<0.
又sin2α+cos2α=1,tan α==-,
∴cos α=-.
答案 C
4.若α為第三象限角,則+=________.
解析 ∵α為第三象限角,
∴sin α<
12、0,cos α<0,
∴原式=+
=+=-1-2
=-3.
答案 -3
5.已知sin αcos α=且<α<,則cos α-sin α=______.
解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,
∵<α<,∴cos α
13、θ+3=0,
所以tan θ=-3或tan θ=-.
7.若cos α=-且tan α>0,求的值.
解?。?
==
=
=sin α(1+sin α).
∵tan α=>0,cos α=-<0,
∴sin α<0.又sin2α+cos2α=1,
∴sin α=-=-,
∴原式=sin α(1+sin α)
=-·=-.
能力提升
8.函數(shù)y=-sin2x-3cos x的最小值是( )
A.- B.-2
C. D.-
解析 y=-(1-cos2x)-3cos x
=cos2x-3cos x+
=2-2
當(dāng)cos x=1時(shí),ymin=2-2=-.
答案
14、 A
9.使=成立的角α的范圍是( )
A.2kπ-π<α<2kπ(k∈Z)
B.2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z)
C.2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z)
D.只能是第三或第四象限角
解析 ∵===,
∴sin α<0.∴2kπ-π<α<2kπ,(k∈Z).
答案 A
10.已知sin x=,cos x=,且x∈,則tan x=________.
解析 由sin2x+cos2x=1,即2+2=1.得m=0或m=8.又x∈,∴sin x<0,cos x>0,∴當(dāng)m=0時(shí),sin x=-,cos x=,此時(shí)
tan x=-;當(dāng)m=8時(shí),sin x=,cos x=-(舍去),
15、
綜上知:tan x=-.
答案?。?
11.在△ABC中,sin A= ,則角A=________.
解析 由題意知cos A>0,即A為銳角.
將sin A= 兩邊平方得2sin2A=3cos A.
∴2cos2A+3cos A-2=0,
解得cos A=或cos A=-2(舍去),
∴A=.
答案
12.求證:-=.
證明 方法一
左邊=
=
=
=
==右邊.∴原式成立.
方法二 ∵==,
==,
∴-=.∴原式成立.
13.(選做題)已知關(guān)于x的方程2x2-(+1)x+2m=0的兩根為sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:
(1)m的值;
(2)+的值;
(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值.
解 (1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知,
Sin θ+cos θ=,①
sin θ·cos θ=m,②
將①式平方得1+2sin θ·cos θ=,
所以sin θ·cos θ=,代入②得m=.
(2)+
=+
==sin θ+cos θ=.
(3)因?yàn)橐亚蟮胢=,
所以原方程化為2x2-(+1)x+=0,
解得x1=,x2=.
所以或
又因?yàn)棣取?0,π),所以θ=或.