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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 1-1-2余弦定理《教案》
教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，
3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；
難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。
學(xué)法
學(xué)法
2、：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角
教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情景 C
如圖1．1-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求邊c b a
A c
3、 B
(圖1．1-4)
二、新課講解：
聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？
用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。
由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。 A
如圖1．1-5，設(shè)，，，那么，則
C B
從而 (圖1．1-5)
同理可證
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與
4、它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？
（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：
[理解定理]
從而知余弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？
（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時(shí)
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例
5、。
例題選講：
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。
變式訓(xùn)練1：在ABC中，若b=4,c=6，A=600，求a的值。
（答：2）
例2（課本P7例4）在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推論得：
cos
；
cos
；
變式訓(xùn)練2：在ABC中，若，求角A
（答案：A=120）
例3：在△ABC中，bcosA＝
6、acosB試判斷三角形的形狀
解法一：利用余弦定理將角化為邊
∵bcosA＝acosB,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形
解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角∵bcosA＝acosB
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形
變式訓(xùn)練3：在ABC中，已知，，，判斷ABC的類型。
解：，即，cos<0,角
7、A為鈍角.
所以.
三、課堂小結(jié)
（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
四、課時(shí)必記：
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
五、作業(yè)：
1、在△ABC中，若a2＞b2+c2，則△ABC為_______；若a2=b2+c2，則△ABC為___________；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，則△ABC為_________
（答：鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形）
2、在ABC中，已知：(a+b+c)(a+b-c)=3ab，則角C=_______
(答：600)
3、在ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角和sinC。
（答：最大角為：A=1200，sinC=）
4、在ABC中，B=300，AB=2，面積S=，求AC的長。
（答：先求得BC=2，再求得AC=2）
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 1-1-2余弦定理《教案》
