高考數(shù)學 第二章 第十二節(jié) 導數(shù)在實際問題中的應用及綜合應用課時提升作業(yè) 文 北師大版

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1、高考數(shù)學 第二章 第十二節(jié) 導數(shù)在實際問題中的應用及綜合應用課時提升作業(yè) 文 北師大版 一、選擇題 1.(xx·西安模擬)函數(shù)y=f(x)在定義域(-,3)內的圖像如圖所示,記y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)≤0的解集為(　　) (A)[-1,]∪[,] (B)[-,1]∪[2,3) (C)(-,]∪[1,2) (D)(-,-]∪[,)∪[,3) 2.若對任意的x>0,恒有l(wèi)nx≤px-1(p>0),則p的取值范圍是(　　) (A)(0,1]　　　　　(B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)[1,+∞) 3.(xx·黃山模擬)在半徑為R

2、的半球內有一內接圓柱,則這個圓柱的體積的最大值是(　　) (A)πR3 (B)πR3 (C)πR3 (D)πR3 4.(xx·宣城模擬)對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有(　　) (A)f(0)+f(2)<2f(1)　　 (B)f(0)+f(2)≤2f(1) (C)f(0)+f(2)≥2f(1) (D)f(0)+f(2)>2f(1) 5.(xx·咸陽模擬)函數(shù)y=2x3+1的圖像與函數(shù)y=3x2-b的圖像有三個不相同的交點,則實數(shù)b的取值范圍是(　　) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1)

3、 (D)(1,2) 6.(xx·安慶模擬)設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且f(-3)g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是 (　　) (A)(-3,0)∪(3,+∞) (B)(-3,0)∪(0,3) (C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空題 7.已知函數(shù)f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(),f(-)的大小關系為　　　　　(用“<”連接). 8.(xx·宜春模擬)設函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于任意x∈[-1,1]

4、,都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為　　　　. 9.(能力挑戰(zhàn)題)在平面直角坐標系xOy中,已知點P是函數(shù)f(x)=ex(x>0)的圖像上的動點,該圖像在點P處的切線l交y軸于點M,過點P作l的垂線交y軸于點N,設線段MN的中點的縱坐標為t,則t的最大值是　　　　　. 三、解答題 10.(xx·蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0. (1)求a,b的值. (2)證明:當x>0,且x≠1時,f(x)>. 11.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每

5、厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式. (2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值. 12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R). (1)當a=-3時,求函數(shù)f(x)的極值. (2)若函數(shù)f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點,求a的取值范圍. 答案解析 1.【解析】選B.由函數(shù)y=f(x)的圖像知,函數(shù)

6、y=f(x)在[-,1],[2,3)上是減少的,故f′(x)≤0的解集為[-,1]∪[2,3). 2.【解析】選D.原不等式可化為lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0.由f′(x)=-p,知f(x)在(0,)上是增加的,在(,+∞)上是減少的. 故f(x)max=f()=-lnp,由-lnp≤0得p≥1. 3.【解析】選A.設圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為,圓柱的體積為V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0

7、1時,f′(x)≤0;x≥1時,f′(x)≥0.因此,函數(shù)y=f(x)在(-∞,1]上是減少的(或為常數(shù)函數(shù));在[1,+∞)上是增加的(或為常數(shù)函數(shù)),所以f(0)≥f(1);f(2)≥f(1),故f(0)+f(2)≥2f(1). 5.【解析】選B.由題意知方程2x3+1=3x2-b, 即2x3-3x2+1=-b有三個不相同的實數(shù)根, 令f(x)=2x3-3x2+1, 即函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2+1與直線y=-b有三個交點. 由f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增加的,在(0,1)上是減少的,在(1,+∞)上是增加的,故f(0

8、)是函數(shù)的極大值,f(1)是函數(shù)的極小值,若函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2+1與直線y=-b有三個交點,則f(1)<-b0時的解集. 【解析】選D. x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 即x<0時,[f(x)g(x)]′>0. ∴f(x)g(x)為增函數(shù),且f(-3)g(-3)=0. 故當x<-3時,f(x)g(x)<0. ∵f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù), ∴f(x)g(x)為奇函數(shù), 當x>0時,由f(

9、x)g(x)<0得00,即x∈(0,1]時,f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥-, 設g(x)=-,則g′(x)=,所以g(x)在區(qū)間(0,]上是增加的,在區(qū)間[,1

10、]上是減少的,因此g(x)max=g()=4,從而a≥4.當x<0,即x∈[-1,0)時,同理a≤-.g(x)在區(qū)間[-1,0)上是增加的,∴g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上可知a=4. 答案:4 【變式備選】已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實數(shù). (1)對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍. (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍. (3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范圍. 【解析】(1)設h(x)=g(x)-f(x

11、)=2x3-3x2-12x+k, 問題轉化為x∈[-3,3]時,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min≥0,x∈[-3,3]. 令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1. ∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9, ∴h(x)min=k-45≥0, 得k≥45. (2)據(jù)題意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即為h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立, ∴h(x)max≥0. ∴h(x)max=k+7≥0, 得k≥-7. (3)據(jù)題意:f(x)max≤g(x)min,x∈[

12、-3,3], 易得f(x)max=f(3)=120-k, g(x)min=g(-3)=-21. ∴120-k≤-21, 得k≥141. 9.【思路點撥】本題考查的是直線的切線方程以及函數(shù)的單調性問題,解題的關鍵是表示出中點的縱坐標t,然后考慮單調性求解最值. 【解析】設P(x0,),x0>0,則 l:y-=(x-x0), ∴M(0,(1-x0)),過點P作l的垂線: y-=-(x-x0),∴N(0,+x0), t=[(1-x0)++x0] =+x0(-) t′=(+)(1-x0), 所以,t在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減, tmax=(e+). 答案:(

13、e+) 10.【解析】(1)由f(x)=+,得 f′(x)=a·-=a·-, ∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0, ∴解得 (2)由(1)知f(x)=+, ∴f(x)-=(2lnx-), 考慮函數(shù)h(x)=2lnx-(x>0),則 h′(x)=-. 所以當x≠1時,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上是減少的.而h(1)=0,故 當x∈(0,1)時,h(x)>0,可得h(x)>0; 當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,可得h(x)>0; 從而當x>0,且x≠1時,f(x)->0, 即f(x)>. 11.【解析】(1)設隔熱層厚度

14、為xcm,由題設,每年能源消耗費用為C(x)=. 再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=. 而建造費用為C1(x)=6x, 最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10). (2)f′(x)=6-, 令f′(x)=0,即=6. 解得x=5或x=-(舍去). 當00, 故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為 f(5)=6×5+=70. 當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值為70萬元. 12.【思路點撥】(1)求出導函數(shù)的零點,再

15、判斷零點兩側導數(shù)的符號.(2)三次函數(shù)的零點決定于函數(shù)的極值的符號,若函數(shù)f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點,則此時極大值與極小值同號. 【解析】(1)當a=-3時,f(x)=x3-x2-3x+3. f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3. 當x<-1時,f′(x)>0,則函數(shù)在(-∞,-1)上是增加的, 當-13時,f′(x)>0,則函數(shù)在(3,+∞)上是增加的. 所以當x=-1時,函數(shù)f(x)取得極大值為f(-1)=--1+3+3=, 當x=3時,函數(shù)

16、f(x)取得極小值為 f(3)=×27-9-9+3=-6. (2)因為f′(x)=x2-2x+a, 所以Δ=4-4a=4(1-a). ①當a≥1時,則Δ≤0,∴f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增加的. f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,當a≥1時函數(shù)的圖像與x軸有且只有一個交點. ②a<1時,則Δ>0,∴f′(x)=0有兩個不等實數(shù)根,不妨設為x1,x2(x1

17、 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∵-2x1+a=0,∴a=-+2x1, ∴f(x1)=-+ax1-a =-+ax1+-2x1 =+(a-2)x1 =x1[+3(a-2)], 同理f(x2)=x2[+3(a-2)]. ∴f(x1)·f(x2)=x1x2[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a2-3a+3). 令f(x1)·f(x2)>0,解得a>0. 而當00. 故0