2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理 1.角的概念. (1)終邊相同的角不一定相等,相等的角終邊一定相同(填“一定”或“不一定”). (2)確定角α所在的象限,只要把角α表示為α=2kπ+α0[k∈Z,α0∈[0,2π)],判斷出α0所在的象限,即為α所在象限. 2.誘導公式. 誘導公式是求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)的重要依據(jù),其記憶口訣為:奇變偶不變,符號看象限. 1.三角函數(shù)的定義:設(shè)α是一個任意大小的角,角α的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=.

2、 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. (1)sin2α+cos2α=1. (2)tan α=. 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”). (1)角α終邊上點P的坐標為,那么sin α=,cos α=-;同理角α終邊上點Q的坐標為(x0,y0),那么sin α=y(tǒng)0,cos α=x0.(×) (2)銳角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(√) (4)常函數(shù)f(x)=a是周期函數(shù),它沒有最小正周期.(√) (5)y=cos x在第一、二象限上是減函數(shù).(×) (6)

3、y=tan x在整個定義域上是增函數(shù).(×)                  1.(xx·福建卷)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值等于(D) A. B.- C. D.- 解析:解法一:因為α為第四象限的角,故cos α===,所以tan α===-. 解法二:因為α是第四象限角,且sin α=-, 所以可在α的終邊上取一點P(12,-5), 則tan α==-.故選D. 2.已知α的終邊經(jīng)過點A(5a,-12a),其中a<0,則sin α的值為(B) A.- B. C. D.- 3.(xx·新課標Ⅰ卷)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=

4、|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期為π的所有函數(shù)為(A) A.①②③  B.①③④  C.②④  D.①③ 解析:①中函數(shù)是一個偶函數(shù),其周期與y=cos 2x相同,T==π;②中函數(shù)y=|cos x|的周期是函數(shù)y=cos x周期的一半,即T=π;③T==π;④T=.故選A. 4.(xx·陜西卷)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin(x+φ)+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為(C) A.5 B.6 C.8 D.10 解析:根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2,有-3+k=2,k=5,最大值為3+k=8.

5、 一、選擇題 1.若sin(α-π)=,α為第四象限角,則tan α=(A) A.-         B.- C. D. 解析:∵sin(α-π)=, ∴-sin α=,sin α=-. 又∵α為第四象限角, ∴cos α= = =, tan α===-. 2. 定義在R上的周期函數(shù)f(x),周期T=2,直線x=2是它的圖象的一條對稱軸,且f(x)在[-3,-2]上是減函數(shù),如果A,B是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則(A) A.f(sin A)>f(cos B) B.f(cos B)>f(sin A) C.f(sin A)>f(

6、sin B) D.f(cos B)>f(cos A) 解析:由題意知:周期函數(shù)f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),在[0,1]上是增函數(shù).又因為A,B是銳角三角形的兩個內(nèi)角,A+B>,得:sin A>cos B,故f(sin A)>f(cos B).綜上知選A. 3.函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(A) A.2- B.0 C.-1 D.-1- 解析:用五點作圖法畫出函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的圖象,注意0≤x≤9知,函數(shù)的最大值為2,最小值為-.故選A. 4. 把函數(shù)y=cos 2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變

7、),然后向左平移1個單位長度,再向下平移 1個單位長度,得到的圖象是(A) 解析:y=cos 2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),然后向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到的解析式為y=cos (x+1).故選A. 5.(xx·新課標Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(D) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:由圖象知周期T=2=2, ∴ =2,∴ ω=π. 由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=, ∴ f(x)=cos. 由2kπ<πx+<2kπ+

8、π,得2k-<x<2k+,k∈Z, ∴ f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.故選D. 6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<)的圖象(部分)如圖所示,則f(x)的解析式是(A) A.f(x)=2sin(x∈R) B.f(x)=2sin(x∈R) C.f(x)=2sin(x∈R) D.f(x)=2sin(x∈R) 解析:由圖象可知其周期為:4=2,∵=2,得ω=π,故只可能在A,C中選一個,又因為x=時達到最大值,用待定系數(shù)法知φ=. 二、填空題 7.若sin θ=-,tan θ>0,則cos θ=-. 8.已知角α的終邊經(jīng)過點(-4

9、,3),則cos α=-. 解析:由題意可知x=-4,y=3,r=5,所以cos α==-. 三、解答題 9. (xx·福建卷)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求f的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 分析:思路一 直接將代入函數(shù)式,應(yīng)用三角函數(shù)誘導公式計算. (2)應(yīng)用和差倍半的三角函數(shù)公式,將函數(shù)化簡sin+1. 得到T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 思路二 先應(yīng)用和差倍半的三角函數(shù)公式化簡函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin+1. (1)

10、將代入函數(shù)式計算; (2)T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 解析:解法一 (1)f=2cos =-2cos =2. (2)因為f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 =sin+1. 所以T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 解法二 因為f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 =sin+1. (1)f=sin+1=sin +1=2. (2

11、)T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 10.函數(shù)f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值為3, 其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)α∈,則f=2,求α的值. 解析:(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3,∴A+1=3,即A=2. ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為, ∴最小正周期為 T=π, ∴ω=2,故函數(shù)f(x)的解析式為 y=2sin+1. (2)∵f=2sin+1=2, 即sin=, ∵0<α<,∴- <α-<. ∴α-=,故α=. 11.(xx·北京卷)已知函數(shù)f(x)=sincos-sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值. 解析:(1)由題意得f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因為-π≤x≤0,所以-≤x+≤. 當x+=-,即x=-時,f(x)取得最小值. 所以f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值為 f=-1-.

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