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1、2022年高考數學一輪總復習 第十一章 第5節(jié) 數學歸納法練習
一、選擇題
1．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
[解析] 當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
[答案] D
2．(xx·岳陽模擬)用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋
2、)成立，其初始值至少應取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] 1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應取8.
[答案] B
3．用數學歸納法證明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數式為( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
[解析] n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1
3、)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，∴應乘2(2k＋1)．
[答案] B
4．對于不等式
4、可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
[解析] 1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區(qū)域．
[答案] C
6．(xx·南寧模擬)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數m，使得對任意n∈N*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為( )
A．18 B．36
C．48 D．54
[解析] 由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝
5、360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當n＝1時，可知猜想成立．假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時， f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.
[答案] B
二、填空題
7．用數學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步驗證為________．
[解析] 由n∈N＋可知初始值為1.
[答案] 當n＝1時，左邊＝4≥右邊，不等式成立
8．(xx·徐州模擬)用
6、數學歸納法證明“當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，當第二步假設n＝k(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．
[解析] n為正奇數，假設n＝k成立后，需證明的應為n＝k＋2時成立．
[答案] k＋2
9．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關系式是__________．
[解析] ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
[答案] f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
7、＋(2k＋2)2
10．用數學歸納法證明…> (k>1)，則當n＝k＋1時，左端應乘上______________________，這個乘上去的代數式共有因式的個數是__________．
[解析] 因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是，最后一個是，根據等差數列通項公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項．
[答案] …
2k－1
三、解答題
11．(xx·綿陽一模)已知數列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數列{x2n}的單調性，并證明你的結論．
[解析] 由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2＞x4＞x6猜想：數列{x2n}是
8、遞減數列．
下面用數學歸納法證明：
(1)當n＝1時，已證命題成立．
(2)假設當n＝k時命題成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝＞0，
即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2.
也就是說，當n＝k＋1時命題也成立．
結合(1)和(2)知命題成立．
12．(xx·長沙模擬)設數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數列{an}的通項公式(不需證明)．
(2)記Sn為數列{an}的前n項和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數n，并給出證明．
(1)解：a2＝
9、a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7，a4＝a－2×3a3＋2＝9，
猜想an＝2n＋1(n∈N＋)．
(2)證明：Sn＝＝n2＋2n(n∈N＋)，
使得Sn<2n成立的最小正整數n＝6.
下證：當n≥6(n∈N＋)時都有2n>n2＋2n.
①當n＝6時，26＝64,62＋2×6＝48,64>48，命題成立．
②假設n＝k(k≥6，k∈N＋)時，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)
＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立；
由①②可得，對于所有的n≥6(n∈N＋)
都有2n>n2＋2n成立．
2022年高考數學一輪總復習 第十一章 第5節(jié) 數學歸納法練習
