2022年高考數(shù)學(xué) 第九篇 第3講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第九篇 第3講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(xx·福建)直線x+y-2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長度等于 (  ). A.2 B.2 C. D.1 解析 由題意作出圖象如圖,由圖可知圓心O到直線AB的距離d==1,故|AB|=2|BC|=2=2. 答案 B 2.(xx·安徽)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (  ). A.[-3,-1]

2、 B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析 由題意可得,圓的圓心為(a,0),半徑為, ∴≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 答案 C 3.(xx·濰坊模擬)若圓x2+y2=r2(r>0)上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是 (  ). A.(+1,+∞) B.(-1,+1) C.(0,-1) D.(0,+1) 解析 計(jì)算得圓心到直線l的距離為=>1,得到右邊草圖.直線l:x-y-2=0與圓相交,l1,l2與l平行,且與直線l的距離為1,故

3、可以看出,圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離+1,故選A. 答案 A 4.(xx·銀川一模)若圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與圓C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三條切線,則a+b的最大值為 (  ). A.-3 B.-3 C.3 D.3 解析 易知圓C1的圓心為C1(-a,0),半徑為r1=2; 圓C2的圓心為C2(0,b),半徑為r2=1. ∵兩圓恰有三條切線,∴兩圓外切, ∴|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.∵2≤, ∴a+b≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=”), ∴a+b的最大值為3.

4、答案 D 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(xx·北京)直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為________. 解析 由題意得,圓x2+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2,圓心到直線x-y=0的距離d==. 設(shè)截得的弦長為l,則由2+()2=22,得l=2. 答案 2 6.(xx·江蘇)設(shè)集合A=(x,y)(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B=?,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析 ∵A∩B≠?,∴A≠?, ∴m2≥.∴m≥或m≤0.顯然B≠?. 要使A∩B≠?,只需圓(

5、x-2)2+y2=m2(m≠0)與x+y=2m或x+y=2m+1有交點(diǎn),即≤|m|或≤|m|,∴≤m≤2+. 又∵m≥或m≤0,∴≤m≤2+. 當(dāng)m=0時(shí),(2,0)不在0≤x+y≤1內(nèi). 綜上所述,滿足條件的m的取值范圍為. 答案  三、解答題(共25分) 7.(12分)已知:圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0. (1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切; (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2時(shí),求直線l的方程. 解 將圓C的方程x2+y2-8y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2. (1

6、)若直線l與圓C相切,則有=2,解得a=-. (2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì), 得 解得a=-7或a=-1. 故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0. 8.(13分)已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長為4,半徑小于5. (1)求直線PQ與圓C的方程; (2)若直線l∥PQ,且l與圓C交于點(diǎn)A,B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程. 解 (1)直線PQ的方程為:x+y-2=0, 設(shè)圓心C(a,b)半徑為r, 由于線段PQ的垂直平分線的方程是y-=x-, 即y=x-1,所以b=a-1.

7、 ① 又由在y軸上截得的線段長為4,知r2=12+a2, 可得(a+1)2+(b-3)2=12+a2, ② 由①②得:a=1,b=0或a=5,b=4. 當(dāng)a=1,b=0時(shí),r2=13滿足題意, 當(dāng)a=5,b=4時(shí),r2=37不滿足題意, 故圓C的方程為(x-1)2+y2=13. (2)設(shè)直線l的方程為y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2), 由題意可知OA⊥OB,即·=0, ∴x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 化簡得2x1x2-m(x1+x2)+m2=0. ③ 由得2x2-2(m+1)x+m2-1

8、2=0, ∴x1+x2=m+1,x1x2=. 代入③式,得m2-m·(1+m)+m2-12=0, ∴m=4或m=-3,經(jīng)檢驗(yàn)都滿足判別式Δ>0, ∴y=-x+4或y=-x-3. B級 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(xx·南昌模擬)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (  ). A. B.∪ C. D.∪ 解析 C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0或y=mx+m=m(x+1). 當(dāng)m=0時(shí)

9、,C2:y=0,此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)m≠0時(shí),要滿足題意,需圓(x-1)2+y2=1與直線y=m(x+1)有兩交點(diǎn),當(dāng)圓與直線相切時(shí),m=±,即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意, 則-

10、點(diǎn)A,此時(shí)動點(diǎn)M所處位置為點(diǎn)M′,則大圓圓弧的長與小圓圓弧的長之差為0或2π.切點(diǎn)A在三、四象限的差為0,在一、二象限的差為2π.以切點(diǎn)A在第三象限為例,記直線OM與此時(shí)小圓O1的交點(diǎn)為M1,記∠AOM=θ,則∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圓圓弧的長為l1=θ×2=2θ,小圓圓弧的長為l2=2θ×1=2θ,則l1=l2,即小圓的兩段圓弧與的長相等,故點(diǎn)M1與點(diǎn)M′重合.即動點(diǎn)M在線段MO上運(yùn)動,同理可知,此時(shí)點(diǎn)N在線段OB上運(yùn)動.點(diǎn)A在其他象限類似可得,故M,N的軌跡為相互垂直的線段.觀察各選項(xiàng)知,只有選項(xiàng)A符合.故選A. 答案 A 二

11、、填空題(每小題5分,共10分) 3.設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB面積的最小值為________. 解析 ∵l與圓相交所得弦的長為2,=, ∴m2+n2=≥2|mn|,∴|mn|≤. l與x軸交點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)B, ∴S△AOB=·=·≥×6=3. 答案 3 4.(xx·浙江)定義:曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實(shí)數(shù)a=___

12、_____. 解析 x2+(y+4)2=2到直線y=x的距離為-=,所以y=x2+a到y(tǒng)=x的距離為,而與y=x平行且距離為的直線有兩條,分別是y=x+2與y=x-2,而拋物線y=x2+a開口向上,所以y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=. 答案  三、解答題(共25分) 5.(12分)設(shè)直線l的方程為y=kx+b(其中k的值與b無關(guān)),圓M的方程為x2+y2-2x-4=0. (1)如果不論k取何值,直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求b的取值范圍; (2)b=1時(shí),l與圓交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的最大值和最小值. 解 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=5, ∴圓心M的坐

13、標(biāo)為(1,0),半徑為r=. (1)∵不論k取何值,直線l總過點(diǎn)P(0,b), ∴欲使l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn),必須且只需點(diǎn)P在圓M的內(nèi)部,即|MP|<,即1+b2<5, ∴-2

14、面積的最小值; (3)若|AB|=,求直線MQ的方程. 解 (1)設(shè)過點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x=my+1, 則圓心M到切線的距離為1, ∴=1,∴m=-或0, ∴QA,QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1. (2)∵M(jìn)A⊥AQ,∴S四邊形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|==≥=. ∴四邊形QAMB面積的最小值為. (3)設(shè)AB與MQ交于P,則MP⊥AB,MB⊥BQ, ∴|MP|= =. 在Rt△MBQ中,|MB|2=|MP||MQ|, 即1=|MQ|,∴|MQ|=3,∴x2+(y-2)2=9. 設(shè)Q(x,0),則x2+22=9,∴x=±,∴Q(±,0), ∴MQ的方程為2x+y-2=0或2x-y+2=0. 特別提醒:教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

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