2022年高考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)練習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)練習(xí) 1、已知函數(shù) （I）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍； （II）若對(duì)于任意的，存在，使得，求的取值范圍． 2、設(shè)反比例函數(shù)f（x）=與二次函數(shù)g（x）=ax2+bx的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，則=（　?。? 　 A． 2或 B． ﹣2或 C． 2或 D． ﹣2或 3、已知二次函數(shù)，若不等式的解集為，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）解不等式 4、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能的是（ ） 5

2、、設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）滿足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最大值為0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函數(shù)f（x）的圖象與直線y=﹣2交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4 （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求最小的實(shí)數(shù)n（n＜﹣1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x∈[n，﹣1]時(shí)，就有f（x+t）≥2x成立． 6、已知函數(shù)． （1）若，求的值域； （2）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 7、若。 （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）求的最大值與最小值； （3）若恒成立，求m取值范圍。 8、已知拋物線． ①若拋物線與軸交于,兩點(diǎn)，

3、求關(guān)于的不等式的解集； ②若拋物線過點(diǎn)，解關(guān)于不等式； 9、已知函數(shù)，且． (1)求證：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)； (2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍； (3)求證：函數(shù)在區(qū)間（0,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 10、已知函數(shù). （Ⅰ）若，使,求實(shí)數(shù)的取值范圍; （Ⅱ）設(shè),且在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 11、已知數(shù)列中，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=， (1)試證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，試求使得成立的n的值，并說明理由。 12、已知二次函數(shù)的最小值為1，且f（0）＝f（2）＝3． （1）求的解析式； （2）若在區(qū)間[]上不

4、單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）在區(qū)間[－1,1]上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍． 13、已知一個(gè)二次函數(shù)，．求這個(gè)函數(shù)的解析式。 14、函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A．??? ???????????? B．?? ????????????? ????????????? C．?? ??????????????? D． 15、已知二次函數(shù)（，）． 若，且不等式對(duì)恒成立，求函數(shù)的解析式； 若，且函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍． 16、對(duì)于函數(shù)（）． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)； （Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，

5、求實(shí)數(shù)的取值范圍 17、函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是 A．≥?????? B．≥??????? C．≤?????? D．≤ 18、已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 19、已知函數(shù)，其中． （1）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)； （2）求函數(shù)的最大值（可以用表示）； （3）若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 20、已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. （Ⅰ）判斷命題“對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集),方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假,并寫出判斷過程. （Ⅱ）若y=f

6、(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的范圍. 答 案 1、（I）2

7、 ，? ……………13分 且上述兩個(gè)不等式的等號(hào)均為或時(shí)取到，故 ? 故，所以……15分 2、根據(jù)已知條件可以畫出f（x），g（x）的圖象，由圖象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有兩個(gè)二重根，和一個(gè)一重根，所以可設(shè)二重根為c，另一根為d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根據(jù)圖象可得． 解：根據(jù)題意可畫出f（x），g（x）可能的圖象： A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解； 由上面圖象知道A，B兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是f（x

8、），g（x）圖象的切點(diǎn)，反應(yīng)在方程上是方程的二重根； 所以可設(shè)二重根為c，另一根為d，則上面方程可變成： a（x﹣c）2（x﹣d）=0； 將方程展開：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0； ∴2acd+ac2=0； 由圖象知a，c≠0； ∴由上面式子得：c=﹣2d； ； ∴； ∴由圖象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c； ∴． 故選：B． 3、（Ⅰ）由題意，1,4是方程的兩根，且 由韋達(dá)定理得，……………………………2分 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 消去得或（舍去），……………………………4分 所以??????????

9、??????? ……………………………5分 （Ⅱ）由題意，不等式在上恒成立， 設(shè)其圖像的對(duì)稱軸方程為…………6分 當(dāng)即時(shí)，有得………8分 當(dāng)即時(shí)，有得????????????? 綜上，???????????????????????????????????????????????????? ………10分 （Ⅲ）方程的判別式 當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為R;??????????????????? ………12分 當(dāng)時(shí)：時(shí)，不等式的解集為??????????? ………13分 ?????????? 時(shí)，不等式的解集為??????????????? ………14分 當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為??

10、???? ………16分 4、C 5、（Ⅰ）根據(jù)題意可假設(shè)f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，求解即可得出解析式． （Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1≤x，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調(diào)遞減， 所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小實(shí)數(shù)為﹣9． 解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1， 由f（x）的最大值為0，可假設(shè)f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0） 令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，則易知2=4，a=﹣． 所以，f（x）=﹣（x

11、﹣1）2． （Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0， 解得﹣t﹣1≤x， 又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時(shí)恒成立， 可得由（2）得0≤t≤4． 令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調(diào)遞減， 所以，g（t）≥g（4）=﹣9， 由于只需存在實(shí)數(shù)，故n≥﹣9，則n能取到的最小實(shí)數(shù)為﹣9． 此時(shí)，存在實(shí)數(shù)t=4，只要當(dāng)x∈[n，﹣1]時(shí)，就有f（x+t）≥2x成立． 6、（1）由題意得 ??????? 當(dāng)時(shí)，，， ??????? ∴此時(shí)的值域?yàn)椤? ??????? 當(dāng)時(shí)，，， ??????? ∴

12、此時(shí)的值域?yàn)椤? ??????? 當(dāng)時(shí)，，， ??????? ∴此時(shí)的值域?yàn)椤? ?? （2）由恒成立得恒成立。 ??????? 令，，因?yàn)閽佄锞€的開口向上， ??????? 所以。 ??????? 由恒成立知，化簡(jiǎn)得 ??????? 令，則原題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得。 ??????? 即當(dāng)時(shí)，。 7、 8、（1）由題意知 解得 ，???? ……… 3分 ?? 解集為???????? ……………… 6分 【注意：若解集沒有寫成集合或者區(qū)間形式，扣2分；】 ?? （2）由題意知 即????????? ………………? 8分 ????? ……………………? 10分 當(dāng)

13、時(shí)，??? ? ；?? 當(dāng)時(shí)，??? 當(dāng)時(shí)，?????? …………… ………… ………? 14分 綜上：當(dāng)時(shí)，解集為 當(dāng)時(shí)，解集為 當(dāng)時(shí)，解集為??????? …………………… 16分 9、（1）證明：? ???????????????? ……1分 對(duì)于方程 判別式……2分 又 恒成立． 故函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．??????????????????????? ……3分 （2）由是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 則是方程的兩個(gè)根． ????????????????????????? ……5分 ??????? 故的取值范圍是???????????????????????

14、……7分 （3）證明： 由（1）知： ??????????????????????????????????????? ……9分 （i）當(dāng)c>0時(shí)，有又 函數(shù)在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．????????? ……10分 （ii）當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間（1,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．????????? ……11分 綜上所述，函數(shù)在區(qū)間（0,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．? ……12分 10、（1）解：由,，得,使，………3分 所以，或； ………7分 （2）解：由題設(shè)得………10分 或……… 13分 ? 或………14分 11、（1）；（2）n=1，2，3 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)

15、列的通項(xiàng)公式；二次函數(shù)的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解析：（1） ∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=， ∴ an≠0，，整理得，………………2分 左右兩邊同時(shí)乘以，得，即(常數(shù))， ∴ 是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， ∴ ， ∴ ． ……………………………………5分 (Ⅱ)∵ ， ① ?????????????? ， ② ①-②得： ， 整理得 ．………………………………8分 ∵ =>0， ∴ 數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．……………………10分 ∴ 要使成立，即使<3，整理得n+2>， ∴ n=1，2，3．…………………………………12分 12、（1）由f（0）＝f（2

16、）知二次函數(shù)f（x）關(guān)于x＝1對(duì)稱，又f（x）的最小值為1，故可設(shè)f（x）＝a（x－1）2＋1， 又f（0）＝3得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3． （2）要使函數(shù)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)， 則2a<12x＋2m＋1在x∈[－1,1]時(shí)恒成立， 即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]時(shí)恒成立． 設(shè)g（x）＝x2－3x＋1－m， 則只要g（x）min>0即可， ∵x∈[－1,1]，∴g（x）min＝g（1）＝－1－m， ∴－1－m>0，即m<－1． 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<－1}． 13、

17、14、B 15、(Ⅰ)因?yàn)椋裕?--------------3分 因?yàn)楫?dāng)， 都有，所以有，??? ---------------6分 即，所以；?? -----------------7分 (Ⅱ)解法1：因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，且， 所以有??? ---------11分 （圖正確，答案錯(cuò)誤，扣2分） 通過線性規(guī)劃可得.???????? ----------------------------15分 （若答案為，則扣1分） 解法2：設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別，所以，------9分 不妨設(shè)，，-----------11分 因?yàn)椋?，?--------13分 所以，所以.---

18、------------15分 （若答案為，則扣1分） 16、（1）x=3 ,? x=-1;（2）0

19、注:分類討論解法酌情給分） 19、（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所?從而，所以．又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，?------4分 （2）求函數(shù)的最大值即求，的最大值． ,對(duì)稱軸為．? -------5分 當(dāng)，即時(shí)， ； 當(dāng)，即時(shí)，； 當(dāng)，即時(shí)，；?? ------9分 綜上， 當(dāng)時(shí)，的最大值是；當(dāng)時(shí)，的最大值是；當(dāng)時(shí)，的最大值是．??? ----?? 10分 （3）要使得對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意恒成立，只需．也就是要求對(duì)成立 因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，； 且當(dāng)時(shí)，???? ??------11分 結(jié)合問題（2）需分四種情況討論： ①時(shí)，成立，所以； ②時(shí)，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，于是成立，所

20、以 ③時(shí)，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故，于是成立，所以； ④時(shí)，，即，所以；????????????????? --------15分 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．??????????…………16分 20、(1)“對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集),方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”是真命題. 依題意:f(x)=1有實(shí)根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實(shí)根, ∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實(shí)數(shù)根,從而f(x)=1必有實(shí)數(shù)根. (2)依題意:要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),只需 即解得