《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版(I)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版(I)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版(I)
一、填空題
1.(xx·蘭州診斷)已知向量a,b滿足a·b=0,|a|=1,|b|=2,則|a-b|=________.
解析 |a-b|====.
答案
2.(xx·南通調(diào)研)已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,則|b|=________.
解析 ∵a∥b,∴=,解得x=-1,∴b=(-1,2),∴|b|==.
答案
3.(xx·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=(1,-2),=(2,1),則·等于________.
解
2、析 ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).∴·=2×3+(-1)×1=5.
答案 5
4.(xx·東北三校聯(lián)考)向量a,b滿足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),則向量a與b的夾角為________.
解析 ∵(a+b)⊥(2a-b),∴(a+b)·(2a-b)=0,
∴2a2-a·b+2b·a-b2=0,∴a·b=0,∴向量a與b的夾角為90°.
答案 90°
5.(xx·蘇州調(diào)研)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則實數(shù)t的值為________.
解析 依題意得b·c=ta·b+(1
3、-t)b2=1-=0,解得t=2.
答案 2
6.(xx·湖北卷)已知向量⊥,||=3,則·=________.
解析 因為⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=||2+0=32=9.
答案 9
7.(xx·河南六市聯(lián)考)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,則向量a和b的夾角是________.
解析 設(shè)向量a和b的夾角為θ.由題意知(a-b)·a=a2-a·b=0,∴2-2cos θ=0,解得cos θ=,∴θ=.
答案
8.(xx·蘇北四市調(diào)研)已知A(-1,cos θ),B(sin θ,1),若|+|=|-|(O為坐標(biāo)原點),則銳角θ=___
4、_____.
解析 法一 利用幾何意義求解:由已知可知,+是以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB的對角線向量,-則是對角線向量,于是對角線相等的平行四邊形為矩形.故OA⊥OB.因此·=0,∴銳角θ=.
法二 坐標(biāo)法:+=(sin θ-1,cos θ+1),-=(-sin θ-1,cos θ-1),由|+|=|-|可得(sin θ-1)2+(cos θ+1)2=(-sin θ-1)2+(cos θ-1)2,整理得sin θ=cos θ,于是銳角θ=.
答案
二、解答題
9.已知平面向量a=(,-1),b=.
(1)證明:a⊥b;
(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使c=a+(
5、t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t).
(1)證明 ∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b.
(2)解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,
∴c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)
=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0.
又a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0,
∴c·d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)=(t≠0).
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求a與b的夾角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面
6、積.
解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,
∴a·b=-6.∴cos θ===-.
又0≤θ≤π,∴θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=.
(3)∵與的夾角θ=,∴∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.
(建議用時:20分鐘)
11.(xx·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在△ABC中,若|+|=|-|,AB=2,AC
7、=1,E,F(xiàn)為BC邊的三等分點,則·=________.
解析 法一 由向量的幾何意義可知,△ABC是以A為直角的直角三角形,E,F(xiàn)為BC的三等分點,不妨設(shè)=+,=+,因此·=·=2+2+·=×4+×1=.
法二 由向量的幾何意義可知,△ABC是以A為直角的直角三角形,以AB,AC所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,E,F(xiàn)為BC的三等分點,不妨設(shè)E,F(xiàn),因此·=×+×=.
答案
12.(xx·合肥質(zhì)量檢測)在△ABC中,設(shè)2-2=2·,那么動點M的軌跡必通過△ABC的________.
解析 假設(shè)BC的中點是O.則2-2=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所
8、以動點M在線段BC的中垂線上,所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.
答案 外心
13.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)設(shè)非零向量a與b的夾角是,且|a|=|a+b|,則的最小值是________.
解析 ∵非零向量a與b的夾角是,且|a|=|a+b|,
∴|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos ,
∴|b|2-|a||b|=0,∴|b|=|a|,
∴==
=t2-2t+=(t-1)2+,
∴當(dāng)t=1時,取最小值是=.
答案
14.已知平面上三點A,B,C,=(2-k,3),=(2,4).
(1)若三點A,B,C不能構(gòu)成三角形,求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件;
(2)若△ABC為直角三角形,求k的值.
解 (1)由三點A,B,C不能構(gòu)成三角形,得A,B,C在同一直線上,即向量與平行,
∴4(2-k)-2×3=0,解得k=.
(2)∵=(2-k,3),∴=(k-2,-3),
∴=+=(k,1).若△ABC為直角三角形,
則當(dāng)A是直角時,⊥,即·=0,
∴2k+4=0,解得k=-2;
當(dāng)B是直角時,⊥,即·=0,
∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
當(dāng)C是直角時,⊥,即·=0,
∴16-2k=0,
解得k=8.綜上得k的值為-2,-1,3,8.