2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列學(xué)案 理

第五章 數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法3.通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an4.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an5數(shù)列的分類分類的標(biāo)準(zhǔn)名稱含義例子按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4，100無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列1,4,9，n2，按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3,4,5，n遞減數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列6,6,6,6，擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，2,3，4按項(xiàng)的有界性有界數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正值1，1,1，1,1，1，無界數(shù)列不存在某一正值能使任一項(xiàng)的絕對(duì)值小于它1,3,4,4，1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(2)1,1,1,1，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列()(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)×(3)×(4)2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an912n，則在下列各數(shù)中，不是an的項(xiàng)的是()A21B33C152 D153解析：選C由912n152，得nN*.3在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a4()A. B.C. D.解析：選B由題意知，a11，a212，a31，a41.4已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2)，則a7()A53 B54C55 D109解析：選C由題意知，a2a12×2，a3a22×3，a7a62×7，各式相加得a7a12(2347)55.5數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式an_.解析：由已知得，數(shù)列可寫成，故通項(xiàng)公式可以為an.答案：6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.又a11不適合上式，故an答案：an考什么·怎么考由Sn和an的關(guān)系求通項(xiàng)公式是一種常見題型，高考中選擇題、填空題、解答題都有呈現(xiàn)，但以解答題的分支命題為重點(diǎn)，近幾年來考查難度有所降低.考法(一)已知Sn，求an1已知Sn3n2n1，則an_.解析：因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S16；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)12·3n12，由于a1不適合此式，所以an答案：2(2017·全國(guó)卷改編)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n，則an_.解析：因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項(xiàng)公式為an(nN*)答案：(nN*)題型技法已知Sn求an的3步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并考法(二)由Sn與an的關(guān)系，求an，Sn3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2(an1)(nN*)，則an()A2nB2n1C2n D2n1解析：選C當(dāng)n1時(shí)，a1S12(a11)，可得a12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an2an1，an2an1，數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n.4(2015·全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.答案：題型技法Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解考什么·怎么考由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有選擇題、填空題，也出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，近幾年考查難度有所降低，但也要引起關(guān)注.方法(一)疊乘法求通項(xiàng)公式1在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1····.當(dāng)n1時(shí)，a11，上式也成立an(nN*)答案：an(nN*)方法點(diǎn)撥疊乘法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(二)疊加法求通項(xiàng)公式2設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足上式，an(nN*)答案：an(nN*)方法點(diǎn)撥疊加法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(三)構(gòu)造法求通項(xiàng)公式3已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·3n11(nN*)答案：an2·3n11(nN*)方法點(diǎn)撥構(gòu)造法求通項(xiàng)公式的3步驟怎樣快解·準(zhǔn)解1正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列f(n)前n項(xiàng)的積時(shí)，采用疊乘法求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an1anf(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an1panq(p0,1，q0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)2避免2種失誤(1)利用疊乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定疊加、疊乘后最后一個(gè)式子的形式從近幾年高考可以看出，數(shù)列中的最值、周期是高考的熱點(diǎn)，一般難度稍大.在復(fù)習(xí)中，從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，特別是利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).典題領(lǐng)悟1已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 018()A1B.C1 D2解析：選D由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018a3×6722a22.2已知數(shù)列an滿足an(nN*)，則數(shù)列an的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)解析：因?yàn)閍n，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)必為an<0，即<0,3n16<0，從而n<.又nN*，所以當(dāng)n5時(shí)，an的值最小答案：5解題師說1解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值2判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法(1)作差比較法：比較an1an與0的大小(2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號(hào)3求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)沖關(guān)演練1已知數(shù)列an滿足a11，an1a2an1(nN*)，則a2 018()A1 B0C2 018 D2 018解析：選Ba11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列，a2 018a20，選B.2等差數(shù)列an的公差d<0，且aa，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為()A5 B6C5或6 D6或7解析：選C由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因?yàn)閐<0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因?yàn)閐<0，所以an是遞減數(shù)列，所以a1>a2>>a5>a60>a7>a8>，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)基礎(chǔ)小題練熟練快1已知數(shù)列1,2，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A16B24C26 D28解析：選C因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n(nN*)，若pq5，則apaq()A10 B15C5 D20解析：選D當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.3(2017·河南許昌二模)已知數(shù)列an滿足a11，an2an6，則a11的值為()A31 B32C61 D62解析：選A數(shù)列an滿足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.4(2018·云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(，1 B(，2C(，3) D.解析：選C因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an2n1b>0(nN*)，所以b<2n1(nN*)，所以b<(2n1)min3，即b<3.5(2018·湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：m，nN*，都有an·amanm，且a1，那么a5()A. B.C. D.解析：選A數(shù)列an滿足：m，nN*，都有an·amanm，且a1，a2a1a1，a3a1·a2，a5a3·a2.6數(shù)列an滿足anan1(nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S21為()A5 B.C. D.解析：選Banan1，a22，anS2111×10×2.7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n1(nN*)，則an_.解析：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，當(dāng)n1時(shí)，a1S142×11，因此an答案：8已知數(shù)列an為，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式是_解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)?，故原?shù)列可變?yōu)?，故其通?xiàng)公式為an(1)n·，nN*.答案：an(1)n·，nN*9數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若SnSn12n1(n2，nN*)，且S23，則a1a3的值為_解析：SnSn12n1(n2)，令n2，得S2S13，由S23得a1S10，令n3，得S3S25，所以S32，則a3S3S21，所以a1a30(1)1.答案：110在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4×(124)28.答案：28B級(jí)中檔題目練通抓牢1若a1，an4an11(n2)，則an>100時(shí)，n的最小值為()A3 B4C5 D6解析：選C由a1，an4an11(n2)得，a24a114×13，a34a214×3113，a44a314×13153，a54a414×531213>100.2(2018·咸陽模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aann Bann2Can Dan解析：選B，(n2)，兩式相減得n(n2)，ann2(n2)又當(dāng)n1時(shí)，1，a11，適合上式，ann2，nN*.故選B.3若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A6 B7C8 D9解析：選Ba119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)×(3)223n.設(shè)an的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，則有kN*，k，kN*，k7.滿足條件的n的值為7.4在數(shù)列an中，an>0，且前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn(an1)2(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：當(dāng)n1時(shí)，4S1(a11)2，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，由4Sn(an1)2a2an1，得4Sn1a2an11，兩式相減得4Sn4Sn1aa2an2an14an，整理得(anan1)(anan12)0，因?yàn)閍n>0，所以anan120，即anan12，又a11，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an12(n1)2n1.答案：an2n15.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n·2n1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_a1a2a3a4a5a6解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列an的第12393348項(xiàng)，而a48(1)48×96197，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：976已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nN*，都有an1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)由n25n4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚N*，所以n2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍nn25n42，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或n3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以<，解得k>3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(3，)7已知二次函數(shù)f(x)x2axa(a>0，xR)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn1(nN*)，定義所有滿足cm·cm1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)解：(1)依題意，a24a0，所以a0或a4.又由a>0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.當(dāng)n1時(shí)，a1S11441；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n5.所以an(2)由題意得cn由cn1可知，當(dāng)n5時(shí)，恒有cn>0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，所以數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)為3.C級(jí)重難題目自主選做1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n2)n(nN*)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是()Aa6或a7 Ba7或a8Ca8或a9 Da7解析：選B因?yàn)閍n1an(n3)n1(n2)nn·，當(dāng)n<7時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>7時(shí)，an1an<0，即an1<an，則a1<a2<<a7a8>a9>a10>，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，即a7或a8.故選B.2(2018·成都診斷)在數(shù)列an中，a11，anan1(n2，nN*)，則an_.解析：由題意知，所以ana1××××1××××.答案：(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)保分題目巧做快做1已知數(shù)列1,2，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A16B24C26 D28解析：選C因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2.(2018·鄭州模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an2an6，則a11的值為()A31 B32C61 D62解析：選A數(shù)列an滿足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n(nN*)，若pq5，則apaq()A10 B15C5 D20解析：選D當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.4(2018·湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：m，nN*，都有an·amanm，且a1，那么a5()A. B.C. D.解析：選A數(shù)列an滿足：m，nN*，都有an·amanm，且a1，a2a1a1，a3a1·a2，a5a3·a2.5若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n的值為()A6 B7C8 D9解析：選Ba119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)×(3)223n.設(shè)an的前k項(xiàng)和最大，則有kN*，k，kN*，k7.滿足條件的n的值為7.6.(2018·河北唐山一模)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，若a432，則a1_.解析：Sn，a432，S4S332，a1.答案：7已知數(shù)列an為，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式是_解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)?，故原?shù)列可變?yōu)?，故其通?xiàng)公式為an(1)n·，nN*.答案：an(1)n·，nN*8在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4×(124)28.答案：289.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：因?yàn)镾nn2kn(nk)2k2，其中k是常數(shù)，且kN*，所以當(dāng)nk時(shí)，Sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，從而Snn24n.當(dāng)n1時(shí)，a1S14；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n1)24(n1)n.當(dāng)n1時(shí)，1a1，所以ann.10已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nN*，都有an1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)由n25n4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚N*，所以n2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍nn25n42，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或n3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以<，解得k>3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(3，)B級(jí)拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.(2018·云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(，1 B(，2C(，3) D.解析：選C因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an2n1b>0(nN*)，所以b<2n1(nN*)，所以b<(2n1)min3，即b<3.2.已知數(shù)列an滿足an1an2n，且a133，則的最小值為()A21 B10C. D.解析：選C由已知條件可知，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33，又n1時(shí)，a133滿足此式所以n1.令f(n)n1，則f(n)在1,5上為減函數(shù)，在6，)上為增函數(shù)又f(5)，f(6)，則f(5)>f(6)，故f(n)的最小值為.3.(2018·成都質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a11，anan1(n2，nN*)，則an_.解析：由題意知，所以ana1××××1××××.答案：4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n·2n1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_a1a2a3a4a5a6解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列an的第12393348項(xiàng)，而a48(1)48×96197，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：975已知二次函數(shù)f(x)x2axa(a>0，xR)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn1(nN*)，定義所有滿足cm·cm1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)解：(1)依題意，a24a0，所以a0或a4.又由a>0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.當(dāng)n1時(shí)，a1S11441；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n5.所以an(2)由題意得cn由cn1可知，當(dāng)n5時(shí)，恒有cn>0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，所以數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)為3.6.已知an是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S42S24，在數(shù)列bn中，bn.(1)求公差d的值；(2)若a1，求數(shù)列bn中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(3)若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范圍解：(1)S42S24，4a1d2(2a1d)4，解得d1.(2)a1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1)×1n，bn11.函數(shù)f(x)1在和上分別是單調(diào)減函數(shù)，b3<b2<b1<1，當(dāng)n4時(shí)，1<bnb4，數(shù)列bn中的最大項(xiàng)是b43，最小項(xiàng)是b31.(3)由bn1，得bn1.又函數(shù)f(x)1在(，1a1)和(1a1，)上分別是單調(diào)減函數(shù)，且x<1a1時(shí)，y<1；當(dāng)x>1a1時(shí)，y>1.對(duì)任意的nN*，都有bnb8，7<1a1<8，7<a1<6，a1的取值范圍是(7，6)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列4與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)(1)若an是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an首項(xiàng)相同，公差是an公差的.(2)若an是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為an的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列(3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶S奇nd，.若項(xiàng)數(shù)為2n1，則S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.(4)兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為.1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()(4)已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an32n，則它的公差為2.()答案：(1)×(2)(3)×(4)2在等差數(shù)列中，若a24，a42，則a6()A1B0C1 D6解析：選B為等差數(shù)列，2a4a2a6，a62a4a22×240.3(2017·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A24 B3C3 D8解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項(xiàng)的和S66×1×(2)24.4已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a11，a44，則a10()A BC. D.解析：選A設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可知，3d，解得d，所以9d，所以a10.5已知等差數(shù)列an的公差d0，且a3a9a10a8，若an0，則n_.解析：因?yàn)閍3a9a10a8，所以a12da18da19d(a17d)，解得a14d，所以an4d(n1)d(n5)d，令(n5)d0(d0)，可解得n5.答案：56在等差數(shù)列an中，an>0，a7a44，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S19_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a7a44，得a16d(a13d)4，即a19d8，所以a108，因此S1919×a1019×8152.答案：152考什么·怎么考等差數(shù)列的基本運(yùn)算是高考中的?？純?nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的第(1)問中，屬于基礎(chǔ)題.1若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S525，且a23，則a7()A12B13C14 D15解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S5，得25，解得a47，所以732d，解得d2，所以a7a43d73×213.2(2017·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2C4 D8解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.3(2018·福州質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列an的公差d0，且a2d，若ak是a6與ak6的等比中項(xiàng)，則k()A5 B6C9 D11解析：選C因?yàn)閍k是a6與ak6的等比中項(xiàng)，所以aa6ak6.又等差數(shù)列an的公差d0，且a2d，所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d，所以(k3)23(k3)，解得k9，或k0(舍去)，故選C.4設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a128，S99，則S16_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得解得S1616×3×(1)72.答案：72怎樣快解·準(zhǔn)解1等差數(shù)列運(yùn)算中方程思想的應(yīng)用(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題易錯(cuò)提醒在求解數(shù)列基本量運(yùn)算中，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法根據(jù)不同的已知條件選用兩個(gè)求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用公式Snna1d；若已知通項(xiàng)公式，則使用公式Sn，同時(shí)注意與性質(zhì)“a1ana2an1a3an2”的結(jié)合使用等差數(shù)列的判定與證明是高考中常見題型，其基本方法是等差數(shù)列的定義，即證明an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，既有選擇題、填空題也有解答題，但以解答題為主，難度不大.典題領(lǐng)悟(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an滿足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式思維路徑(1)要求數(shù)列的項(xiàng)，可根據(jù)已知首項(xiàng)和遞推關(guān)系式，令n1,2可解得(2)證明是等差數(shù)列，其關(guān)鍵應(yīng)推出為常數(shù)，對(duì)所給條件進(jìn)行必要的變形即可解：(1)由已知，得a22a14，則a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)證明：由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以數(shù)列是首項(xiàng)1，公差d2的等差數(shù)列則12(n1)2n1，所以an2n2n.解題師說等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于任意自然數(shù)n(n2)，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項(xiàng)法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列注意用定義證明等差數(shù)列時(shí)，容易漏掉對(duì)起始項(xiàng)的檢驗(yàn)，從而產(chǎn)生錯(cuò)解比如，對(duì)于滿足anan11(n3)的數(shù)列an而言并不能判定其為等差數(shù)列，因?yàn)椴荒艽_定起始項(xiàng)a2a1是否等于1.沖關(guān)演練1(2018·陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，則S7等于()A13B49C35 D63解析：選B由Snan2bn(a，bR)可知數(shù)列an是等差數(shù)列，所以S749.2已知數(shù)列an中，a12，an2(n2，nN*)，設(shè)bn(nN*)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2(n2)，an12.bn1bn1，bn是首項(xiàng)為b11，公差為1的等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)在高考中也是?？純?nèi)容.靈活應(yīng)用由定義推導(dǎo)出的重要性質(zhì)，在解題過程中可以達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和的最值在高考中時(shí)常出現(xiàn)，題型既有選擇題、填空題也有解答題，難度不大.典題領(lǐng)悟1在等差數(shù)列an中，a129，S10S20，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()AS15BS16CS15或S16 DS17解析：選Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n×(2)n230n(n15)2225.當(dāng)n15時(shí)，Sn取得最大值2(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，且f(x)在(1，)上單調(diào)，若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)f(a51)，則數(shù)列an的前100項(xiàng)的和為 ()A200 B100C50 D0學(xué)審題由函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性知f(x)在(，1)上也單調(diào)；結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知a50a512.解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)，所以f(x)在(，1)上也單調(diào)，且數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列又f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100.解題師說1應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的2個(gè)注意點(diǎn)(1)如果an為等差數(shù)列，mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出現(xiàn)amn，am，amn等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am(amnamn)轉(zhuǎn)化為求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.3理清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Snna1d可變形為Snn2n，令A(yù)，Ba1，則SnAn2Bn.當(dāng)A0，即d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)yAx2Bx的圖象上，即為拋物線yAx2Bx上一群孤立的點(diǎn)利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問題沖關(guān)演練1(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A95 B100C135 D80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)403×20100.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13解析：選C因?yàn)閍1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，所以S12>0，S13<0，所以滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn324(n6)，則數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為_解析：由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.答案：18(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)基礎(chǔ)小題練熟練快1(2018·蘭州診斷考試)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，a8a1028，則S9()A36B72C144 D288解析：選B法一：a8a102a116d28，a12，d，S99×2×72.法二：a8a102a928，a914，S972.2(2018·安徽兩校階段性測(cè)試)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是()A20 B36C24 D72解析：選C由a2S34及a3S512，得解得a4S78a124d24.3(2018·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a115，且3an13an2.若ak·ak1<0，則正整數(shù)k()A21 B22C23 D24解析：選C由3an13an2an1anan是等差數(shù)列，則ann.ak·ak1<0，<0，<k<，又kN*，k23.4(2018·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN*)，若b32，b212，則a8()A0 B109C181 D121解析：選B設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則db3b214，因?yàn)閍n1anbn，所以a8a1b1b2b77b47×(214)112，又a13，所以a8109.5(2018·云南11校跨區(qū)調(diào)研)在數(shù)列an中，a13，an1，則a4()A. B1C. D.解析：選A依題意得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，則，an，a4.6(2018·東北四市高考模擬)已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|()A9 B15C18 D30解析：選C由an1an2可得數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.7(2016·北京高考)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.解析：a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.S66a1d6×6306.答案：68等差數(shù)列an中，已知a5>0，a4a7<0，則an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_解析：Sn的最大值為S5.答案：S59若等差數(shù)列an的前17項(xiàng)和S1751，則a5a7a9a11a13_.解析：因?yàn)镾17×1717a951，所以a93.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a5a13a7a11，所以a5a7a9a11a13a93.答案：310在等差數(shù)列an中，公差d，前100項(xiàng)的和S10045，則a1a3a5a99_.解析：因?yàn)镾100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，則a1a3a5a99(a1a99)×10.答案：10B級(jí)中檔題目練通抓牢1(2018·湖南五市十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn1Snan3，a4a523，則S8()A72 B88C92 D98解析：選C法一：由Sn1Snan3，得an1an3，故數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，又a4a5232a17d2a121，a11，S88a1d92.法二：由Sn1Snan3，得an1an3，故數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，S892.2(2018·廣東潮州二模)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢()A8日 B9日C12日 D16日解析：選B設(shè)n日相逢，則依題意得103n×1397n×1 125×2，整理得n231n3600，