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1、2022年高考數(shù)學(xué) 回扣突破練 階段復(fù)習(xí)小綜合四 文
一. 選擇題
1.已知直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,則a//β,b//β是α//β的 ( )
A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
2.已知雙曲線過(guò)點(diǎn),漸進(jìn)線方程為,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵雙曲線漸進(jìn)線方程為,故可設(shè)雙曲線方程為,∵雙曲線過(guò)點(diǎn),則,即,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,故選C.
3.放煙花是逢年過(guò)節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式,已知一種煙花模型的
2、三視圖如圖中的粗實(shí)線所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該煙花模型的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
,故選D.
4.一個(gè)幾何體的三視圖如上圖所示,則該幾何體的體積為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三視圖知,該幾何體為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體截去一個(gè)底面是直角邊分別為1、2的直角三角形、高為2的三棱錐,所以該幾何體的體積,故選A.
5.已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線,A,B是切點(diǎn),C是圓心,那么四邊形
3、PACB面積的最小值是 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】由題設(shè)可知圓心和半徑分別為,結(jié)合圖形可知四邊形的面積,所以當(dāng)最小時(shí), 最小,而就是圓心到直線的距離,所以,所以四邊形的面積的最小值是,應(yīng)選答案A.
6.橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn),其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由條件可知 , ,所以橢圓方程為 ,故選C.
7.已知直三棱柱中, ,側(cè)面的面積為4,則直三棱
4、柱外接球表面積的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
8.若直線 (, ),經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圓心坐標(biāo)為在直線上,所以,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故 的最小值為4.
9.某四面體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則此四面體的外接球的體積為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以此四面體可以放在正方體中,,如圖
5、所示,四面體滿足題意,所以此四面體的外接球即為正方體的外接球,由題意可知,正方體的棱長(zhǎng)為1,所以外接球的半徑為,所以此四面體的外接球的體積,故選C.
10.對(duì)于平面和不重合的兩條直線,下列選項(xiàng)中正確的是( )
A. 如果, , 共面,那么 B. 如果, 與相交,那么是異面直線
C.如果, , 是異面直線,那么 D. 如果, ,那么
【答案】A
11.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),若6,則的面積為( )
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】設(shè)直線 的方程為: ,與拋物線方程聯(lián)立可得: ,則
6、: ,由弦長(zhǎng)公式可得: ,三角形的面積為: ,故選A.
12.如圖,直三棱柱中, , , ,外接球的球心為,點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有下列判斷:①直線與直線是異面直線;②一定不垂直;③三棱錐的體積為定值;④的最小值為.
其中正確判斷的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
二、填空題
13.已知直線l:y=k(x-2)與拋物線C:y2=8x交于A,B兩點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),若|AF|=3|BF|,則直線l的傾斜角為_(kāi)______________.
【答案】或
【解析】設(shè)交點(diǎn),由于直線過(guò)焦點(diǎn),所以將代入并整理可得,
7、則,又由拋物線的定義可得,故由題設(shè)可得代入可得,解之得或(舍去),故時(shí), ,代入可得,所以直線的傾斜角是或,應(yīng)填答案或.
14.中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑(biē nào).若三棱錐為鱉臑,且⊥平面, 又該鱉臑的外接球的表面積為,則該鱉臑的體積為_(kāi)_________
【答案】
【解析】由題意得,所以由得,因此鱉臑的體積為
15.用一根長(zhǎng)為12的鋼筋焊接一個(gè)正三棱柱形狀的廣告牌支架,則該三棱柱的側(cè)面積的最大值是__________.
【答案】6
16.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)
8、分別為,右頂點(diǎn)為,直線與交于點(diǎn).若,則的離心率等于__________.
【答案】
【解析】如圖:設(shè),由,得根據(jù)相似三角形得: 求得,又直線方程為: ,將點(diǎn)D代入得:
一、 解答題
17.如圖,在四棱柱中,平面底面,且.
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面.
18.已知點(diǎn)分別為橢圓的左,右頂點(diǎn),點(diǎn),直線交于點(diǎn),且是等腰直角三角形.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外時(shí),求直線斜率的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)由題意題意是等腰直角三角形,所以,
設(shè),由,解得 代入橢圓方程,解得,∴橢圓方程為;
9、
(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,
由,整理得:,由直線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則△>0,
即,解得:,由韋達(dá)定理可知:,,
由坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外,則?>0,即,
即
,解得:,綜上可知:,解得:或,直線斜率的取值范圍.
19.如圖,矩形中, , , 為的中點(diǎn),將沿折到的位置, .
(1)求證:平面平面;
(2)若為的中點(diǎn),求三棱錐的體積.
20.已知橢圓: 的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,且該三角形的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè), 是橢圓的左、右焦點(diǎn),若橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊過(guò)點(diǎn)和,求這個(gè)平行四邊形面積
10、的最大值.
∴ ,
,
橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積為,
令,則 ,
注意到在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
故這個(gè)平行四邊形的面積最大值為.
21.如圖,三棱柱中,側(cè)棱平面,為等腰直角三角形, ,且, 分別是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】.(1)證明: 是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn),
∴.
又∵側(cè)棱,
∴面面
∴ 面, .
,則 ,
∴,∴.
又,∴⊥平面.
而面,故:平面平面.
(2)解:∵⊥,側(cè)棱,所以,所
又,,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為, ,解得:
22.已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸交于,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn), ,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得, 直線與軸交于 , ,當(dāng)直線與軸垂直時(shí), ,由 ,當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為, ,由 ,依題意得, ,且 , , , , 綜上所述, 的取值范圍是 .