4、式a2x-7>a4x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范圍.
解 設(shè)y=ax(a>0且a≠1),
若0<a<1,則y=ax為減函數(shù),
∴a2x-7>a4x-1?2x-7<4x-1,
解得x>-3;
若a>1,則y=ax為增函數(shù),
∴a2x-7>a4x-1?2x-7>4x-1,解得x<-3,
綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),x的取值范圍是(-3,+∞);
當(dāng)a>1時(shí),x的取值范圍是(-∞,-3).
10.已知函數(shù)f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
解 (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=,
令u=-x2-4x+3=-(x+2)
5、2+7.
在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,+∞)上單調(diào)遞減,而y=在R上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-2,+∞),遞減區(qū)間是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)應(yīng)有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí),a的值等于1.
(建議用時(shí):20分鐘)
11.已知函數(shù)f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),則a的取值范圍是________.
解析 因?yàn)閒(x)=a-x=,且f(-2)>f(-3),所以函
6、數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增,所以>1,解得0<a<1.
答案 (0,1)
12.函數(shù)y=ax-b(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,則ab的取值范圍為________.
解析 函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.而當(dāng)x=0時(shí),y=a0-b=1-b,由題意得解得
所以ab∈(0,1).
答案 (0,1)
13.(xx·南通調(diào)研)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 令ax-x-a=0,即ax=x+a,若01
7、,y=ax與y=x+a的圖象如圖所示有兩個(gè)公共點(diǎn).
答案 (1,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)若f(1)>0,試求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.
解 因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),
所以f(0)=0,所以k-1=0,
即k=1,f(x)=ax-a-x.
(1)因?yàn)閒(1)>0,所以a->0,又a>0且a≠1,
所以a>1.
因?yàn)閒′(x)=axln a+a-xln a=(ax+a-x)ln a
8、>0,
所以f(x)在R上為增函數(shù),原不等式可化為f(x2+2x)>f(4-x),所以x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,
所以x>1或x<-4.
所以不等式的解集為{x|x>1或x<-4}.
(2)因?yàn)閒(1)=,所以a-=,
即2a2-3a-2=0,所以a=2或a=-(舍去).
所以g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.
令t(x)=2x-2-x(x≥1),則t(x)在(1,+∞)上為增函數(shù)(由(1)可知),即t(x)≥t(1)=,
所以原函數(shù)為ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,
所以當(dāng)t=2時(shí),ω(t)min=-2,此時(shí)x=log2(1+).
即g(x)在x=log2(1+)時(shí)取得最小值-2.