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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 專題綜合檢測八 文
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.直線y=2x+1的參數(shù)方程是(C)
A. B.
C. D.
2.在極坐標系中,圓ρ=2sin θ的圓心的極坐標是(A)
A. B.
C.(1,0) D.(1,π)
解析:由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以x2+y2-2y=0,其圓心坐標為(0,1),其極坐標為.
3.已知圓的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,在以原點為極點,x
2、軸正半軸為極軸的極坐標中,該圓的方程為(B)
A.ρ=2cos θ B.ρ=2sin θ
C.ρ=-2cos θ D.ρ=-2sin θ
解析:x2+y2-2y=0?x2+(y-1)2=1,該方程表示圓心為(0,1),半徑為1的圓,如圖,在圓上任取一點M(ρ,θ),則|OM|=2sin θ,所以ρ=2sin θ,故選B.
4.參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標方程ρ=sin θ所表示的圖形分別是(B)
A.直線、直線 B.直線、圓
C.圓、圓 D.圓、直線
解析:將參數(shù)方程消去參數(shù)t得2x-y-5=0,所以對應圖形為直線.由ρ=sin θ得ρ2=ρsin θ,即x2+y2=
3、y,即x2+=,對應圖形為圓.
5.若圓的方程為(θ為參數(shù)),直線的方程為(t是參數(shù)),則直線與圓的位置關系是(B)
A.相交過圓心 B.相交且不過圓心
C.相切 D.相離
6.利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間,年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關系可近似地表示為y=-30x+4 000,則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量(噸)為(B)
A.240 B.200 C.180 D.160
解析:依題意,得每噸的成本為=+-30,
則≥2-30=10,當且僅當=,即x=200時取等號,故選B.
7.(xx·安徽卷)以平面直角坐標系的原點為極點,
4、x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長為(D)
A. B.2 C. D.2
解析:由題意可得直線和圓的方程分別為x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圓心C(2,0),半徑r=2,圓心(2,0)到直線l的距離d=,由半徑,圓心距,半弦長構成直角三角形,解得弦長為2.
8.已知動直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,則直線l與圓O:(θ為參數(shù))的位置關系是(A)
A.相交 B.相切 C.相離 D.過圓心
解析:動直線l平分圓C:(x-2)2
5、+(y-1)2=1,即圓心(2,1)在直線l上,又圓O:的普通方程為x2+y2=9且22+12<9,故點(2,1)在圓O內(nèi),則直線l與圓O的位置關系是相交.
9.△ABC的三邊長分別為,,2,△A′B′C′的兩邊長分別為1和,如果△ABC∽△A′B′C′,那么△A′B′C′的第三邊長為(A)
A. B. C. D.
解析:∵△ABC∽△A′B′C′,則=,則△A′B′C′的第三邊長為=.
10.如圖所示,在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC上靠近點A的一個三等分點,則△ADE與四邊形DECB的面積之比為(D)
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶4 D.1∶8
6、
解析:由題知△ADE與△ABC的相似比為1∶3,所以S△ADE∶S△ABC=1∶9.則△ADE與四邊形DECB的面積之比為1∶8.
11.點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點,AE與CD相交于點G,則圖中的相似三角形共有(C)
A.2對 B.3對 C.4對 D.5對
12.如圖所示,菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,M,N分別是邊AB,AD的中點,連接OM,ON,MN.則下列敘述正確的是(C)
A.△AOM和△AON都是等邊三角形
B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形
C.四邊形AMON和四邊形ABCD是相似形
D.四邊形MBCO
7、和四邊形OCDN都是等腰梯形
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.(xx·北京卷)在極坐標系中,點到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離為________.
解析:先把點極坐標化為直角坐標(1,),再把直線的極坐標方程ρ(cos θ+sin θ)=6化為直角坐標方程x+y-6=0,利用點到直線距離公式d==1.
答案:1
14.(xx·廣東卷)已知直線l的極坐標方程為2ρsin=,點A的極坐標為A,則點A到直線l的距離為________.
解析:依題意已知直線l:2ρsin=和點A可化為l:x-y+1=0和A(2,-2
8、),所以點A與直線l的距離為d==.
答案:
15.(xx·廣東卷)如圖,已知AB是圓O的直徑,AB=4,EC是圓O的切線,切點為C,BC=1,過圓心O做BC的平行線,分別交EC和AC于點D和點P,則OD=________.
解析:如圖所示,連接OC,因為OD∥BC,又BC⊥AC,所以OP⊥AC,又O為AB線段的中點,所以為OP=BC=,在Rt△OCD中,OC=AB=2,由直角三角形的射影定理可得OC2=OP·OD即OD===8.
答案:8
16.(xx·廣東卷)如圖,AB為圓O的直徑,E為AB的延長線上一點,過E作圓O的切線,切點為C,過A作直線EC的垂線,垂足為
9、D.若AB=4,CE=2,則AD=________.
答案:3
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)(xx·新課標Ⅱ卷)如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點,圓O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點,與底邊上的高交于點G,且與AB,AC分別相切于E、F兩點.
(1)證明:EF∥BC;
(2)若AG等于圓O半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積.
分析:(1)要證明EF∥BC,可證明AD⊥BC,AD⊥EF;(2)先求出有關線段的長度,然后把四邊形EBCF的面積轉(zhuǎn)化為△ABC和△AEF面積之差來求.
解析
10、:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線,又因為圓O與AB,AC分別相切于E,F(xiàn),所以AE=AF,故AD⊥EF,所以EF∥BC.
(2)由(1)知AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分線,又EF為圓O的弦,所以O在AD上,連接OE,OF,則OE⊥AE,由AG等于圓O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30°,因此,△ABC和△AEF都是等邊三角形,因為AE=2,所以AO=4,OE=2,因為OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1,于是AD=5,AB=,所以四邊形DBCF的面積為××-×(2)2×=.
18.(12分)(xx·陜西卷)如圖,AB切
11、⊙O于點B,直線AD交⊙O于D,E兩點,BC⊥DE,垂足為C.
(1)證明:∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直徑.
分析:(1)先證∠CBD=∠BED,再證∠DBA=∠BED,進而可證∠CBD=∠DBA;
(2)先由(1)知BD平分∠CBA,進而可得AD的值,再利用切割線定理可得AE的值,進而可得⊙O的直徑.
解析:(1)因為DE為圓O的直徑,則∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,
所以∠CBD+∠EDB=90°,從而∠CBD=∠BED.
又AB切圓O于點B,得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CB
12、A,則==3,又BC=,從而AB=3,所以AC==4,所以AD=3.
由切割線定理得AB2=AD×AE,即AE==6,
故DE=AE-AD=3,即圓O的直徑為3.
19.(12分)(xx·新課標Ⅱ卷)在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π,在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2與C3交點的直角坐標;
(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.
解析:(1)曲線C2的直角坐標系方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標系方程為x2+y2-2x=0
13、.
聯(lián)立解得或
所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.
(2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A得極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(2cos α,α),所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.
當α=時,|AB|取得最大值,最大值為4.
20.(12分)(xx·陜西卷)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,⊙C的極坐標方程為ρ=2sin θ.
(1)寫出⊙C的直角坐標方程;
(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.
分析:
14、(1)先將ρ=2sin θ兩邊同乘以ρ可得ρ2=2ρsin θ,再利用ρ2=x2+y2,x=ρsin θ 可得⊙C的直角坐標方程;(2)先設P的坐標,則|PC|=,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得|PC|的最小值,進而可得P的直角坐標.
解析:(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)設P,又C(0,),則|PC|==,故當t=0時,|PC|取最小值,此時P點的直角坐標為(3,0).
21.(12分)(xx·新課標Ⅱ卷)設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd;則+>+;
(2)+>+是|a-b
15、|<|c-d|的充要條件.
解析:(1)因為(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由題設a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+).
因此+>+.
(2)①若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即
(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd,因為a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.
②若+>+則(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.
因為a+b=c+d,所以ab>cd,于是
(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
22.(12分)(xx·陜西卷)已知關于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4|}.
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)求+的最大值.
分析:(1)先由|x+a|<b可得-b-a<x<b-a,再利用關于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4|}可得a,b的值;
(2)先將+變形為·+,再利用柯西不等式可得+的最大值.
解析:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a
則解得a=-3,b=1.
(2)+=+≤
=2=4
當且僅當=,
即t=1時等號成立,故(+)max=4.