2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·全國(guó)Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=________. 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42. 答案 42 2.已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,則xyz的值為_(kāi)_______. 解析 由等比中項(xiàng)知y2=3,∴y=±, 又∵y與

2、-1,-3符號(hào)相同,∴y=-,y2=xz, 所以xyz=y(tǒng)3=-3. 答案?。? 3.在等比數(shù)列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么這個(gè)數(shù)列的公比為_(kāi)_______. 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由=====,得q=2或q=. 答案 2或 4.(xx·湘潭模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,則a1的值為_(kāi)_______. 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a2·a6=9a4,得a2·a2q4=9a2q2,又a2=1,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍),所以a1==. 答案  5.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等

3、比數(shù)列{an},Sn為前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40等于________. 解析 依題意,數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20). 即(S20-10)2=10(70-S20), 故S20=-20或S20=30, 又S20>0, 因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故S40-S30=80.S40=150. 答案 150 6.(xx·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S1,S3,S2成等差數(shù)列,則{an}的公比q等于_______

4、_. 解析 ∵S1,S3,S2成等差數(shù)列,∴a1+a1+a1q=2(a1+a1q+a1q2).∵a1≠0,q≠0,∴解得q=-. 答案 - 7.(xx·哈爾濱一模)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a2=4,a4=16,則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________. 解析 正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q===2, a1==2,∴S9==1 022. 答案 1 022 8.(xx·成都診斷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S4=3S2,a3=2,則a7=________. 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,顯然q≠1且q>0,因?yàn)镾4=3S2,所以=,解得

5、q2=2,因?yàn)閍3=2,所以a7=a3q4=2×22=8. 答案 8 二、解答題 9.(xx·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn. 解 (1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2), 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1), 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,

6、所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列, 故an=2n. (2)由(1)得=, 所以Tn=++…+==1-. 10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (1)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. (1)證明 依題意Sn=4an-3(n∈N*), n=1時(shí),a1=4a1-3,解得a1=1. 因?yàn)镾n=4an-3,則Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理得an=an-1. 又a1

7、=1≠0,所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. (2)解 由(1)知an=, 由bn+1=an+bn(n∈N*), 得bn+1-bn=. 可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =2+ =3·-1(n≥2). 當(dāng)n=1時(shí)也滿足, 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3·-1(n∈N*). (建議用時(shí):20分鐘) 11.(xx·南通二模)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4的等比數(shù)列,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,則其公比q等于________. 解析 ∵4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,∴2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2

8、a1q2,又∵a1=4,則有q4+q2-2=0,解得q2=1,∴q=±1. 答案 ±1 12.(xx·臨沂模擬)數(shù)列{an}中,已知對(duì)任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a+a+a+…+a等于________. 解析 ∵a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2時(shí),a1+a2+…+an-1=3n-1-1, ∴當(dāng)n≥2時(shí),an=3n-3n-1=2·3n-1, 又n=1時(shí),a1=2適合上式,∴an=2·3n-1, 故數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4,公比為9的等比數(shù)列. 因此a+a+…+a==(9n-1). 答案 (9n-1) 13.(xx·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))數(shù)列{an}

9、是等比數(shù)列,若a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1=________. 解析 由題意得q3==?q=, ∴an=a2·qn-2=, ∴anan+1=·==8×, ∴數(shù)列{anan+1}是以8為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列, ∴a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n). 答案 (1-4-n) 14.(xx·江蘇卷節(jié)選)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列. (1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列; (2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說(shuō)明理由; (1)證明 因?yàn)椋?an+

10、1-an=2d(n=1,2,3)是同一個(gè)常數(shù),所以2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列, (2)解 不存在,理由如下: 令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0). 假設(shè)存在a1,d,使得a1,a,a,a依次構(gòu)成等比數(shù)列, 則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令t=,則1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4, 化簡(jiǎn)得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1. 將t2=t+1代入(*)式, t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0, 則t=-. 顯然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假設(shè)不成立. 因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次構(gòu)成等比數(shù)列.

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