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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.5 圓錐曲線綜合問題教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2=2y,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2,記l1和l2交于點(diǎn)M.
(1)求證:l1⊥l2;
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+.
聯(lián)立消去y整理得x2-2kx-1=0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1,y1),B的坐標(biāo)為(x2,y2),則有x1x2=-1,將拋物線方程改寫為y=x2,求導(dǎo)得y′=x.
所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1
2、=x1,過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2=x2.
因?yàn)閗1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y-y1=k1(x-x1),即y-=x1(x-x1).
同理直線l2的方程為y-=x2(x-x2).
聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得-=x2(x-x2)-x1(x-x1),
整理得(x1-x2)(x-)=0,
注意到x1≠x2,所以x=.
此時(shí)y=+x1(x-x1)=+x1(-x1)==-.
由(1)知x1+x2=2k,所以x==k∈R.
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y=-.
【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一,本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩
3、個(gè)不同概念,“求軌跡”除了首先要求我們求出方程,還要說明方程軌跡的形狀,這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌.
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x>3) D.-=1(x>4)
【解析】如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6,
根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3),故選C.
題型
4、二 圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2+3y2=4上,對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.
由得4x2-6nx+3n2-4=0.
因?yàn)锳,C在橢圓上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-<n<.
設(shè)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,
y1=-x1+n,y2=-x2+n. 所以y1+y2=.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|
5、.
所以菱形ABCD的面積S=|AC|2.
又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以S=(-3n2+16) (-<n<).
所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值4.
【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”,借助代數(shù)方法求最值,要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍,雖然也能得出答案,但是得分損失不少.
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y=x2-1上有一定點(diǎn)B(-1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q,若BP⊥PQ,則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是 .
【解析】如圖,B(-1,0),設(shè)P(xP,x-1),Q(xQ,x-1),
由kBP·kPQ=-1,得·=
6、-1.
所以xQ=-xP-=-(xP-1)--1.
因?yàn)閨xP-1+|≥2,所以xQ≥1或xQ≤-3.
題型三 求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(xx浙江模擬)已知m>1,直線l:x-my-=0,橢圓C:+y2=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí),求直線l的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)橹本€l:x-my-=0經(jīng)過F2(,0),
所以=,解得m2=2,
又因?yàn)閙>1,所以m=.
故直線l的方程為x-
7、y-1=0.
(2)A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得2y2+my+-1=0,
則由Δ=m2-8(-1)=-m2+8>0知m2<8,
且有y1+y2=-,y1y2=-.
由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點(diǎn),
由=2, =2,得G(,),H(,),
|GH|2=+.
設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M(,),
由題意可知,2|MO|<|GH|,即4[()2+()2]<+,
即x1x2+y1y2<0.
而x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=(m2+1)(-).
所以-<0,即m2<4.
又因?yàn)閙>1且Δ>0,所以1<m<2.
8、
所以m的取值范圍是(1,2).
【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2-ay2=1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形,其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合,則a的取值范圍為 .
【解析】設(shè)B(m,),則C(m,-)(m>1),
又A(1,0),由AB=BC得(m-1)2+=(2)2,
所以a=3=3(1+)>3,即a的取值范圍為(3,+∞).總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中
9、的幾何條件,用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力,因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn),也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法,是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容,其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中,自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問題,主要是根據(jù)條件,建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式,然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍,運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).