2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.二次函數(shù)y=-x2+4x+t圖象的頂點(diǎn)在x軸上,則t的值是________. 解析 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上,所以Δ=42-4×(-1)×t=0,解得t=-4. 答案?。? 2.若a<0,則0.5a,5a,5-a的大小關(guān)系是________(按從小到大). 解析 5-a=,因?yàn)閍<0時(shí),函數(shù)y=xa單調(diào)遞減,且<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a. 答案 5a<0.5a<5-a 3.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),對稱軸為x=2,最小值為-1,則

2、它的解析式是________. 答案 y=(x-2)2-1 4.函數(shù)y=-x(x≥0)的最大值為________. 解析 令=t,則x=t2(t≥0), 則y=-t2+t=-+, 當(dāng)t=時(shí),ymax=. 答案  5.當(dāng)α∈時(shí),冪函數(shù)y=xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限. 解析 當(dāng)α=-1,1,3時(shí),y=xα的圖象經(jīng)過第一、三象限;當(dāng)α=時(shí),y=xα的圖象經(jīng)過第一象限. 答案 二、四 6.(xx·蘇北四市模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(x1)=f(x2),則 f(x1+x2)=________. 解析 ∵f(x1)=f(x2)且f(x)的圖象關(guān)

3、于x=-對稱,∴x1+x2=-. ∴f(x1+x2)=f=a·-b·+c=c. 答案 c 7.(xx·南京師大附中調(diào)研)“a=1”是“函數(shù)f(x)=x2-4ax+3在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù)”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 解析 函數(shù)f(x)=x2-4ax+3在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),則滿足對稱軸-=2a≤2,即a≤1,所以“a=1”是“函數(shù)f(x)=x2-4ax+3在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件. 答案 充分不必要 8.已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)>0的解集是(0,4),且f(x)在

4、區(qū)間 [-1,5]上的最大值是12,則f(x)的解析式為________. 解析 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(x)>0的解集是(0,4),可知f(0)=f(4)=0,且二次函數(shù)的圖象開口向下,對稱軸方程為x=2,再由f(x)在區(qū)間[-1,5]上的最大值是12,可知f(2)=12,即解得 ∴f(x)=-3x2+12x. 答案 f(x)=-3x2+12x 二、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值; (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù). 解 (1)當(dāng)a=-2時(shí),

5、f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上單調(diào)遞減,在[2,6]上單調(diào)遞增, ∴f(x)的最小值是f(2)=-1, 又f(-4)=35,f(6)=15, 故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4,故a的取值范圍是(-∞,-6]∪[4,+∞). 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請根據(jù)圖象: (1)寫出函數(shù)f

6、(x)(x∈R)的增區(qū)間; (2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函數(shù)g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在區(qū)間(-1,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增. (2)設(shè)x>0,則-x<0,函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0), ∴f(x)= (3)g(x)=x2-2x-2ax+2,對稱軸方程為x=a+1, 當(dāng)a+1≤1,即a≤0時(shí),g(1)=1-2a為最小值; 當(dāng)1<a+1≤2,即0<a≤1時(shí),g(a+1)=

7、-a2-2a+1為最小值; 當(dāng)a+1>2,即a>1時(shí),g(2)=2-4a為最小值. 綜上,g(x)min= 能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,且f(m)≤f(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析 二次函數(shù)f(x)=ax2-2ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,則a≠0,f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1], 所以a>0,即函數(shù)的圖象開口向上,又因?yàn)閷ΨQ軸是直線x=1.所以f(0)=f(2),則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí),有0≤m≤2. 答案 [0,2] 12.(xx·北京東城區(qū)模擬

8、)已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且x1<x2,x1+x2=1-a,則下列說法正確的是________(填序號). ①f(x1)<f(x2);②f(x1)>f(x2);③f(x1)=f(x2);④f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不能確定. 解析 f(x)的對稱軸為x=-1,因?yàn)?<a<3, 則-2<1-a<0,若x1<x2≤-1,則x1+x2<-2, 不滿足x1+x2=1-a且-2<1-a<0;若x1<-1, x2≥-1時(shí),|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3), 此時(shí)x2到對稱軸的距離大,所以f(x2)>f(

9、x1); 若-1≤x1<x2,則此時(shí)x1+x2>-2,又因?yàn)閒(x)在[-1,+∞)上為增函數(shù),所以f(x1)<f(x2). 答案?、? 13.對于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”;a*b=設(shè)f(x)=(2x-1)*(x-1),且關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,則m的取值范圍是________. 解析 由題意得f(x)=(2x-1)*(x-1)= 即f(x)= 如圖所示,關(guān)于x的方程f(x)=m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn),則0<m<. 答案  14.(xx·雅安診

10、斷)已知函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0. (1)求證:-2<<-1; (2)若x1、x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,求|x1-x2|的取值范圍. (1)證明 當(dāng)a=0時(shí),f(0)=c,f(1)=2b+c,又b+c=0, 則f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0與已知矛盾,因而a≠0, 則f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0, 即<0,從而-2<<-1. (2)解 x1、x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根, 則x1+x2=-,x1x2=-, 那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=·++ =+. ∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)2<, ∴≤|x1-x2|<,即|x1-x2|的取值范圍是.

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