《2021高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 經(jīng)典微課堂 規(guī)范答題系列2 高考中的數(shù)列問題教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 經(jīng)典微課堂 規(guī)范答題系列2 高考中的數(shù)列問題教學案 理 北師大版（2頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、規(guī)范答題系列2 高考中的數(shù)列問題
[命題解讀] 從近五年全國卷高考試題來看，數(shù)列解答題常以an，Sn的關系為切入點，以等差(等比)數(shù)列基礎知識為依托，重點考查等差(等比)數(shù)列的判定與證明，考查數(shù)列的通項及前n項和的求法(以分組求和、裂項求和為主)，考查函數(shù)與方程的思想及邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，且難度有所提升．
[典例示范] (本題滿分12分)(2016·全國卷Ⅱ)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28①.記bn＝[lg an]②，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求數(shù)列{bn}的前1
2、 000項和③.
[信息提取] 看到①想到等差數(shù)列的求和公式；
看到②想到等差數(shù)列的通項公式及對數(shù)的運算性質(zhì)；
看到③想到數(shù)列的常見求和方法．
[規(guī)范解答] (1)設{an}的公差為d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4， 2分
所以d＝＝1， 4分
所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 5分
所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. 6分
(2)記{bn}的前n項和為Tn，則T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1
3、000]，
當0≤lg an＜1時，n＝1,2，…，9； 7分
當1≤lg an＜2時，n＝10,11，…，99； 9分
當2≤lg an＜3時n＝100,101，…，999； 11分
當lg an＝3時，n＝1 000，
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 12分
[易錯防范]
易錯點
防范措施
對[lg an]認識錯誤
先結合題設條件理解[x]，再結合對數(shù)的運算性質(zhì)求出b1，b11，b101
找不出[lg an]的規(guī)律求不出{bn}的前1 000項的和
結合(1)的結論，合情推理推出[lg an]的規(guī)律，并分類求出bn，最后利用分組
4、求和求{bn}的前1 000項和
[通性通法] (1)等差(或等比)數(shù)列的通項公式、前n項和公式中有五個元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本題型，通過解方程(組)的方法達到解題的目的．
(2)數(shù)列的求和問題常采用“公式法”“裂項相消法”等．
[規(guī)范特訓] (2019·天津二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，設bn＝.
(1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)設＝2n＋1，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn(n∈N＋)．
[解] (1)因為a1＝2，所以b1＝＝1.
將(n＋2)an＝(n＋1)
5、an＋1－2(n2＋3n＋2)兩邊同時除以(n＋1)(n＋2)得：
＝－2，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2.
∴數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∵＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.
設Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
兩式相減得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.
化簡得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
設Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2，
∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.
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