2022年高考數(shù)學第二輪復習 三角函數(shù)教學案
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1、2022年高考數(shù)學第二輪復習 三角函數(shù)教學案 第1課時 三角函數(shù)與三角變換 考綱指要: 主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明等三角變換的基本問題。 考點掃描: 1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì); 2.函數(shù)y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+)的圖象; 3.兩角和與差的三角函數(shù),二倍角公式。 考題先知: 例1.不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 分析:解法一利用三角公式進行等價變形;解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,使解法更簡單更精妙,需認真體會 解法一 sin220°+cos28
2、0°+sin220°cos80° = (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220° =1-cos40°-(1-cos40°)= 解法二 設x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°-cos20
3、°sin80°,則 x+y=1+1-sin60°=, x-y=-cos40°+cos160°+sin100° =-2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=, 即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 點評:題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法,對計算能力的要求較高 例2.某市環(huán)保部門對該市每天環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后,得出一天中環(huán)境污染指數(shù)與時間x(小時)的函數(shù)關系為,其中a為與氣象有關的參數(shù),且。若函數(shù)的最大值為當天的綜合污染指數(shù),并記作。(1)求函數(shù)的表達式; (2)市政府規(guī)定,每天的綜合污染指數(shù)不
4、得超過2,試問該市目前的綜合污染指數(shù)是否超標? 解:(1)設,則原函數(shù)可化為,當時, ,,由于的圖象為線段或折線,故的最大值在端點或折點處取得,又當?shù)膱D象為折線時,在折點處的t值為,而 ,所以的最大值為 =,而, ,由方程組得, 從而 (2)由(1)知:在上是增函數(shù),故,因此該市目前的綜合污染指數(shù)沒有超標。 復習智略: 例3.設關于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a值,并對此時的a值求y的最大值 分析:利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題,還要用到配方法、數(shù)形結合、分類講座等 解 由y=2
5、(cosx-)2-及cosx∈[-1,1]得 f(a)= ∵f(a)=, ∴1-4a=a=[2,+∞ 或 --2a-1=,解得a=-1, 此時,y=2(cosx+)2+, 當cosx=1時,即x=2kπ,k∈Z,ymax=5 點評:本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力 學生不易考查三角函數(shù)的有界性,對區(qū)間的分類易出錯 檢測評估: 1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根均tanα、tanβ,且α,β∈ (-),則tan的值是( ) A B -2 C D
6、 或-2 2.給出函數(shù)封閉的定義:若對于定義域D內(nèi)的任一個自變量x0,都有函數(shù)值f(x0),則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉。若定義域D1=(0,1),則下列函數(shù):f1(x)=2x-1,f2(x)=,f3(x)=2x-1,f4(x)=cosx.;其中在D1上封閉的有( )個。 A.1 B.2 C.3 D.4 3 函數(shù)y=-x·cosx的部分圖像是( ) 4 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) A 非奇非偶函數(shù) B 僅有最小值的奇函數(shù) C 僅有最大值的偶函數(shù) D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù) 5、函數(shù)的
7、最大值為M,最小值為N,則( ) A、; B、; C、; D、 6.函數(shù)y=sin(2x+)的圖象通過如下變換: 得到y(tǒng)=sinx的圖象。 7 函數(shù)f(x)=()|cosx|在[-π,π]上的單調(diào)減區(qū)間為_________ 8 設ω>0,若函數(shù)f(x)=2sinωx在[-,]上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是_________ 9.已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx,則函數(shù)f(x)的最小正周期是
8、 。 當x = 時,f(x)取得最小值 ; 10.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值_________ 11.已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{an}的首項. ⑴ 求函數(shù)的表達式; ⑵ 求證:; ⑶ 求證: 12.已知向量,,已知函數(shù) (1)求函數(shù)的最值與最小正周期;(2)求使不等式 成立的 的取值范圍。 點撥與全解: 1 解析 ∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0 tanα+tanβ=3a+1>0, 又α、β∈(-,)∴α、β∈(-,θ),則∈(-,0), 又tan
9、(α+β)=, 整理得2tan2=0 解得tan=-2 答案 B 2.解:(1)∵f1()=0?(0,1),∴f(x)在D1上不封閉; ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù),∴0<f2(1)<f2(x)<f2(0)=1, ∴f2(x)?(0,1)Tf2(x)在D1上封閉; ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù),∴0=f3(0)<f3(x)<f3(1)=1, ∴f3(x)?(0,1)Tf3(x)在D1上封閉; ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是減函數(shù),∴cos1=f4
10、(1)<f4(x)<f4(0)=1, ∴f4(x)?(cos1,1)ì(0,1)Tf4(x)在D1上封閉; 綜上所述,選C。 3 解 函數(shù)y=-xcosx是奇函數(shù),圖像不可能是A和C,又當x∈(0, )時,y<0 答案 D 4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x-1+cosx=2[(cosx+]-1 答案 D 5.解:,其中是奇函數(shù),所以M+N=2,故選D。 6.y=sin(2x+) 7 解 在[-π,π]上,y=|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是[-,0]及[,π] 而f(x)依|cosx|取值的遞增而
11、遞減,故[-,0]及[,π]為f(x)的遞減區(qū)間 8 解 由-≤ωx≤,得f(x)的遞增區(qū)間為[-,],由題設得 9.解:f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期T=π 且當2x+=2kπ-,即x=kπ- (k∈Z)時,f(x)取得最小值-2 10.解 ∵<β<α<,∴0<α-β< π<α+β<, ∴ ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 11.解:⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴
12、 ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 12、解: (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知
13、 又∵ ∴的取值范圍是 第2課時 解三角形 考綱指要: (1)通過對任意三角形邊長和角度關系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題; (2)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。 考點掃描: 1.直角三角形中各元素間的關系:(1)三邊之間的關系;(2)銳角之間的關系;(3)邊角之間的關系。 2.斜三角形中各元素間的關系:(1)三角形內(nèi)角和;(2)正弦定理;(3)余弦定理; 3.三角形的面積公式。
14、 考題先知: 例1。在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設有一個觀察站P,上午11時,測得一輪船在島北30°東,俯角為30°的B處,到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。 (1)求船的航行速度是每小時多少千米; (2)又經(jīng)過一段時間后,船到達海島的正西方向的D處,問此時船距島A有多遠? 分析: 主要依據(jù)三角形中的邊角關系并且運用正弦定理來解決問題 解 (1)在Rt△PAB中,∠APB=60° PA=1,∴AB= (千米) 在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC= (千米) 在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°
15、-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° 在△ACD中,據(jù)正弦定理得, ∴ 答 此時船距島A為千米 點評: 主要利用三角形的三角關系,關鍵找準方位角,合理利用邊角關系 例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B,設x=cos,f(x)=cosB() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域; (2)判斷其單調(diào)性,并加以證明; (3)求這個函數(shù)的值域 分析: 本題的關鍵是運用三角函數(shù)的有關公式求出
16、f(x)的解析式,公式主要是和差化積和積化和差公式 在求定義域時要注意||的范圍 解 (1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120° ∵0°≤||<60°,∴x=cos∈(,1 又4x2-3≠0,∴x≠,∴定義域為(,)∪(,1] (2)設x1<x2, ∴f(x2)-f(x1)==, 若x1,x2∈(),則4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即f(x2)<f(x1),若x1,x2∈(,1],則4x12-3>0 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)
17、<0 即f(x2)<f(x1),∴f(x)在(,)和(,1上都是減函數(shù) (3)由(2)知,f(x)<f()=-或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域為(-∞,-)∪[2,+∞ 點評:學生對三角函數(shù)中有關公式的靈活運用是難點,并且不易想到運用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題 復習智略: 例3.已知△ABC中滿足()2=·+·+·,a、b、c分別是△ABC的三邊. (Ⅰ)試判斷△ABC的形狀并求sinA+sinB的取值范圍; (Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的a、b、c都成立,求k的取值范圍. 7解:(Ⅰ)
18、∵()2=·+·+·, ()2=·(+)+· 即()2=·+·, 即·=0,△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形, ∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),A∈(0,) , ∴sinA+sinB的取值范圍為. (Ⅱ)在直角△ABC中, a=csinA,b=ccosA. 若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的a、b、c都成立, 則有≥k,對任意的a、b、c都成立, ∵ =[c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)] =[ sin2AcosA+cos2A sin
19、A+1+cosA+sinA] =cosA+sinA+ 令t=sinA+cosA,t∈, 設f(t)==t+=t+=t-1++1. f(t)=t-1++1,當t-1∈ 上時 f(t)為單調(diào)遞減函數(shù), ∴當t=時取得最小值,最小值為2+3,即k≤2+3, 所以k的取值范圍為(-∞,2+3). 點評:本題是平面向量與三角函數(shù)相結合的問題,運用平面向量的運算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關系,進而運用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域.第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值,其中運用了換元法. 檢測評估: 1 給出四個命
20、題 (1)若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;(2)若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,則△ABC為鈍角三角形;(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC為正三角形 以上正確命題的個數(shù)是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2.△ABC中,則△ABC的周長為( ) A. B. C. D. 3.如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值,則( ) A.和都是銳角三角形 B.和都是鈍角三角形
21、 C.是鈍角三角形,是銳角三角形 D.是銳角三角形,是鈍角三角形 4.在中,則滿足條件的三角形有( ) (A)一解 (B)兩解 (C)無解 (D)不能確定 5.已知兩個向量集合M={︱=(cos,),∈R},N={︱=(cos,+sin)∈R},若M∩N≠,則的取值范圍是( ) A.(-3,5) B.[,5] C.[2,5] D.[5,+∞] 解:由條件得:,故選B。 6 在△ABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,則的值為__________ 7 在△ABC中,A為最小角,C為最大角,已知cos(2A+C)
22、=-,sinB=,則cos2(B+C)=__________ 8. 如右圖,在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈,桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比,角和這一點到光源的距離 r的平方成反比,即I=k·,其中 k是一個和燈光強度有關的常數(shù),那么電燈懸掛的高度h= ,才能使桌子邊緣處最亮. 9 在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,且a、b、3c成等比數(shù)列,又∠A-∠C=,則∠A、∠B、∠C的值分別為 10..給出問題:已知中,滿足,試判定的形
23、狀.某學生 的解答如下:由條件可得,去分母整理可得 ,.故是直角三角形.該學生的解答是 否正確?若正確,請將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上;若不正確,將正確的結果填在 下面橫線上._______________________________________________________________ 11.在一很大的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風 刮跑,其方向與湖岸成15°角,速度為2.5km/h,同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小 船,已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h.問此人能否追上小船.若小 船
24、速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少? 12.已知△ABC的面積S滿足 , 且 , 與的夾角為. (I) 求的取值范圍; (II)求函數(shù)的最小值. 點撥與全解: 1 解析 其中(3)(4)正確 答案 B 2.解:在中,由正弦定理得:化簡得AC= ,化簡得AB=, 所以三角形的周長為:3+AC+AB=3++ =3+。故選D。 3.解:的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,則是銳角三角形, 若是銳角三角形,由,得, 那么,,所以是鈍角三角形。故選D。 4.由得,故選C。 6 解析 ∵A+B+C=π,A+C=2B,
25、答案 7 解析 ∵A為最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180° ∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)= ∵C為最大角,∴B為銳角,又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=,cos(A+C)=- ∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-, ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案 8 解 R=rcosθ,由此得 , 9. 解 由a、b、3c成等比數(shù)列,得 b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(-)[cos(A+C)-cos(A-C)]
26、 ∵B=π-(A+C) ∴sin2(A+C)=-[cos(A+C)-cos] 即1-cos2(A+C)=-cos(A+C),解得cos(A+C)=- ∵0<A+C<π,∴A+C=π 又A-C=∴A=π,B=,C= 10.不正確,失掉這一情形,故是等腰三角形或直角三角形。 O A B vt 2(1-k)t 4kt 15° 11. 設船速為v,顯然時人是不可能追上小船,當km/h時,人不必在岸上跑,而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船,因此只要考慮的情況,由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕,當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在
27、水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時,人才能追上小船.設船速為v,人追上船所用時間為t,人在岸上跑的時間為,則人在水中游的時間為,人要追上小船,則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形. 由余弦是理得 , 即, 整理得, 要使上式在(0,1)范圍內(nèi)有實數(shù)解, 則有且, 解得, 故當船速在內(nèi)時,人船運動路線可構成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為,由此可見當船速為2.5km/h時人可以追上小船. 12.解:(1)由題意知,, ………………① ,…………② 由②÷①, 得, 即 由得, 即. 又為與的夾角, ∴, ∴. (2) ∵, ∴. ∴, 即時, 的最小值為3.
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