2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.2 點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系教案 理 北師大版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.2 點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系教案 理 北師大版 考綱要求 1．能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離． 知識(shí)梳理 1．兩直線的位置關(guān)系 平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況． (1)兩直線平行 對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2?________________. 對(duì)于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥

2、l2?__________________________. (2)兩直線垂直 對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1⊥l2?k1·k2＝____. 對(duì)于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2?____________. 2．兩直線的交點(diǎn) 設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則l1與l2____，此解就是兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則l1與l2____；若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則l1與l2____. 3．有關(guān)距離 (1)兩點(diǎn)

3、間的距離 平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝____________. (2)點(diǎn)到直線的距離 平面上一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝____________. (3)兩平行線間的距離 已知l1，l2是平行線，求l1，l2間距離的方法： ①求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離； ②設(shè)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝________. 4．對(duì)稱問(wèn)題 (1)中點(diǎn)坐標(biāo)公式 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為____________． (2)中

4、心對(duì)稱 若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得______． (3)軸對(duì)稱 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　)． A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 2．點(diǎn)P在直線x＋y－4＝0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

5、|OP|的最小值為(　　)． A． B．2 C． D．2 3．已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝(　　)． A．2 B．1 C．0 D．－1 4．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝(　　)． A．－1 B．－ C．2 D． 5．求與直線x－y＋2＝0平行，且它們之間的距離為3的直線方程． 思維拓展 1．研究?jī)芍本€的位置關(guān)系時(shí)，若直線方程的系數(shù)含有變量應(yīng)注意什么？ 提示：在利用斜率、截距研究?jī)芍本€的位置關(guān)系時(shí)，若直線方程中y的系數(shù)含有字母參數(shù)，則斜率

6、可能有不存在的情況．此時(shí)，應(yīng)對(duì)其按y的系數(shù)為零(斜率不存在)和不為零(斜率存在)兩種情況進(jìn)行討論．利用斜率相等研究?jī)蓷l直線平行時(shí)，要注意重合的情形． 2．運(yùn)用距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？ 提示：點(diǎn)到直線的斜率公式適用于任何形式的直線方程，在運(yùn)用該公式時(shí)，應(yīng)首先把直線方程化為一般式；在運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí)，要注意先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化成相等的形式． 一、兩直線的平行 【例1】直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，則m的值為(　　)． A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 方法提煉1．判定兩直線平行的方法：

7、 (1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合． (2)直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論： 設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. 2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，這也是經(jīng)常采用的解題技巧． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]1 二、兩直線的垂直 【例2】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程． 方法提煉1．判定兩直線垂直的方法： (

8、1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩直線也垂直． (2)直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 2．與Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0，這也是經(jīng)常采用的解題技巧． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]2 三、距離公式的應(yīng)用 【例3－1】已知直線l過(guò)兩直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點(diǎn)P，且與A(2,3)，B(－4,5)兩點(diǎn)距離相等，求直線l的方程． 【例

9、3－2】已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,1)，且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)為5，求直線l的方程． 方法提煉運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，需把直線方程化為一般式；運(yùn)用兩平行線的距離公式時(shí)，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]3 四、對(duì)稱問(wèn)題 【例4－1】已知直線l1：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l1的對(duì)稱直線l2的方程； (3)直線l1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線l3的方程． 【例4－2】已知直線l1：2x＋y－4＝0，求l1關(guān)于直線l

10、：3x＋4y－1＝0對(duì)稱的直線l2的方程． 方法提煉1．在對(duì)稱問(wèn)題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱是最基本也是最重要的對(duì)稱．處理這種問(wèn)題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；線關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決；直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問(wèn)題的一個(gè)通法． 2．求與距離有關(guān)的最值問(wèn)題，一般是通過(guò)作圖，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題加以解決． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]4 考情分析 通過(guò)分析近幾年的高考試題可以看出，對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的考查，主要側(cè)重以下幾個(gè)方面：(1)判斷兩直線平行與垂直的位置關(guān)系，或以平行、垂直的位置

11、關(guān)系為載體求相關(guān)參數(shù)的值；(2)對(duì)距離公式的考查，主要是把它作為工具來(lái)使用；(3)對(duì)稱問(wèn)題側(cè)重點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱．思想方法主要側(cè)重分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想等．考查的形式以選擇題、填空題為主． 針對(duì)訓(xùn)練 1．與直線3x＋4y＋1＝0平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線l的方程為__________． 2．(xx浙江高考，文12)若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)m＝________. 3．若P(a，b)在直線x＋y＋1＝0上，求的最小值． 4．(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大； (2)在直線l：3x－

12、y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最?。? 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測(cè) 知識(shí)梳理 1．(1)k1＝k2，且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0　(2)－1　A1A2＋B1B2＝0 2．相交　平行　重合 3．(1) (2)　(3)② 4．(1) (2) 基礎(chǔ)自測(cè) 1．A　解析：∵所求直線與直線x－2y－2＝0平行， ∴所求直線的斜率為，方程為y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 2．B　解析：根據(jù)題意知，|OP|的最小值為原點(diǎn)O到直線x＋y－4＝0的距離．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得＝2. 3．D　解析：∵兩直線垂直

13、， ∴a(a＋2)＝－1. ∴a＝－1. 4．B　解析：解方程組得 ∴三條直線交于點(diǎn)(－1，－2)． ∴－1－2b＝0，即b＝－. 5．解：設(shè)與直線x－y＋2＝0平行的直線方程為x－y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式，得＝3?|2－m|＝6?m＝－4或m＝8，即所求的直線方程為x－y－4＝0，或x－y＋8＝0. 考點(diǎn)探究突破 【例1】C　解析：解法一：當(dāng)m＝－1時(shí)，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0顯然l1與l2不平行； 當(dāng)m≠－1時(shí)，因?yàn)閘1∥l2，所以應(yīng)滿足－＝－且－≠，解得m＝2或m＝－3. 解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m

14、＝2. 當(dāng)m＝－3或2時(shí)，－2(m＋1)－12≠0. ∴m＝－3或2為所求． 【例2】解：解法一：∵直線2x＋y－10＝0的斜率不為0， ∴直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k. ∵直線l與直線2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1.∴k＝. 又∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，∴所求直線l的方程為y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 解法二：設(shè)與直線2x＋y－10＝0垂直的直線方程為x－2y＋m＝0. ∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0. ∴所求直線l的方程為x－2y＝0. 【例3－1】解：解方程組得 故交點(diǎn)P(－1,2)． (1)當(dāng)直線l

15、的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意得＝，解得k＝－， ∴直線l方程為y－2＝－(x＋1)即x＋3y－5＝0. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x＝－1，此時(shí)也符合題目要求． 綜合(1)(2)知，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 【例3－2】解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長(zhǎng)|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，由 解得A. 由

16、 解得B. 由兩點(diǎn)間的距離公式，得 2＋2＝25， 解得k＝0， 即所求直線方程為y＝1. 綜上可知，直線l的方程為x＝3，或y＝1. 解法二：因?yàn)閮善叫芯€間的距離d＝＝， 如圖，直線l被兩平行線截得的線段長(zhǎng)為5， 設(shè)直線l與兩平行線的夾角為θ， 則， 所以θ=45°. 因?yàn)閮善叫芯€的斜率是， 故所求直線的斜率不存在，或?yàn)?. 又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(3,1)， 所以直線l的方程為x=3，或y=1. 【例4－1】解：(1)設(shè)A′(x，y)， 由已知得 解得 故A′. (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)必在l2上． 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′

17、(a，b)， 則由 得M′. 設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N， 由得N(4,3)． 又l2過(guò)N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x－46y＋102＝0. (3)解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)． 則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′均在直線l3上． 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l3的方程為2x－3y－9＝0. 解法二：∵l1∥l3，∴可設(shè)l3的方程為2x－3y＋c＝0(c≠1)． ∵點(diǎn)A到兩直線的距離相等，∴由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，得c＝－9， ∴l(xiāng)3的方程為2x－3y－9＝0. 解法三：設(shè)P(x，y)是l3上任

18、一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)． ∵P′在直線l1上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0. 整理得2x－3y－9＝0. 【例4－2】解：方法一：由得l1與l的交點(diǎn)為P(3，－2)，顯然P也在l2上． 設(shè)l2的斜率為k，又l1的斜率為－2，l的斜率為－，則＝，解得k＝－. 故l2的直線方程為y＋2＝－(x－3)，即2x＋11y＋16＝0. 方法二：在直線l1上取一點(diǎn)A(2,0)，又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0，y0)，則 解得B. 故由兩點(diǎn)式可求得直線l2的方程為2x＋11y＋16＝0. 演練鞏固提升 針對(duì)訓(xùn)

19、練 1．3x＋4y－11＝0　解析：解法一：設(shè)直線l的斜率為k. ∵l與直線3x＋4y＋1＝0平行， ∴k＝－. 又∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0. 解法二：設(shè)與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0. ∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11. ∴所求直線方程為3x＋4y－11＝0. 2．1　解析：∵直線x－2y＋5＝0與2x＋my－6＝0互相垂直， ∴1×2＋(－2)·m＝0，即m＝1. 3．解：∵＝，可看成是點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(1,1)之間的距離． 又∵點(diǎn)P是直線x＋y

20、＋1＝0上任一點(diǎn)， ∴即是點(diǎn)(1,1)與直線x＋y＋1＝0上任一點(diǎn)之間的距離． 因此，點(diǎn)(1,1)到直線x＋y＋1＝0的距離即是的最小值． 由于點(diǎn)(1,1)到直線x＋y＋1＝0的距離為d＝＝， 故的最小值為. 4．解：(1)如圖甲所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′，連接AB′并延長(zhǎng)交l于P，此時(shí)的P滿足|PA|－|PB|的值最大． 圖甲 設(shè)B′的坐標(biāo)為(a，b)， 則kBB′·kl＝－1， 即·3＝－1. ∴a＋3b－12＝0.① 又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線l上， ∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.② ①②聯(lián)立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)． 于是AB′的方程為＝， 即2x＋y－9＝0. 解方程組得 即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)． (2)如圖乙所示，設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′交l于點(diǎn)Q，此時(shí)的Q滿足|QA|＋|QC|的值最?。? 圖乙 設(shè)C′的坐標(biāo)為(x′，y′)， ∴ 解得∴C′. 由兩點(diǎn)式得直線AC′的方程為＝， 即19x＋17y－93＝0. 解方程組得 ∴所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.