《2022年高考數(shù)學一輪總復習 2.9 函數(shù)模型及其應用教案 理 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學一輪總復習 2.9 函數(shù)模型及其應用教案 理 新人教A版(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 2.9 函數(shù)模型及其應用教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 運用指數(shù)模型求解
【例1】按復利計算利率的一種儲蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元,每期利率為2.25%,計算5期的本息和是多少?
【解析】已知本金為a元,
1期后的本利和為y1=a+a×r=a(1+r);
2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后的本利和為y3=a(1+r)2+a(1+r)2r
=a(1+r)3;
? ?
x期后的本利和為y=a
2、(1+r)x.
將a=10 000, r=2.25%, x=5代入上式得
y=10 000(1+2.25%)5=11 176.8,
所以5期后的本利和是11 176.8元.
【點撥】在實際問題中,常遇到有關(guān)平均增長率的問題,如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則總產(chǎn)值y與時間x的關(guān)系為y=N(1+p)x.
【變式訓練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a,已知月平均增長率為p,則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是( )
A.(1+p)12-1 B.(1+p)12
C.(1+p)11 D.12p
【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1+p)12,去年十二
3、月產(chǎn)值為a,故比去年增長了[(1+p)12-1]a,故選A.
題型二 分段函數(shù)建模求解
【例2】在對口脫貧活動中,為了盡快脫貧(無債務)致富,企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣點以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙,并約定從該經(jīng)營利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費開支3600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息). 在甲提供資料中有:①這種消費品的進價每件14元;②該店月銷售量Q(百件)與銷價p(元)關(guān)系如圖;③每月需各種開支2 000元.
(1)試問為使該店至少能維持職工生活,商品價格應控制在何種范圍?
(2)當商品價格為每件多少元時,月利
4、潤扣除職工最低生活費的余額最大?并求最大余額;
(3)企業(yè)乙只依靠該廠,最早可望幾年后脫貧?
【解析】設(shè)該店月利潤額為L,則由假設(shè)得
L=Q(p-14)×100-3 600-2 000,①
(1)當14≤p≤20時,由L≥0得18≤p≤20,
當20<p≤26時,由L≥0得20<p≤22,
故商店銷售價應控制在18≤p≤22之內(nèi).
(2)當18≤p≤20時,L最大=450元,此時,p=19.5元.
當20<p≤22時,L最大=416元,此時,p=20元.
故p=19.5元時,月利潤最大余額為450元.
(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧,依題意得
12n×450-50 000-5
5、8 000≥0,解得n≥20,
即最少可望在20年后脫貧.
【點撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細審題,理解題意,建立相應數(shù)學模型,求解時,也可利用導數(shù),此外要注意問題的實際意義.
【變式訓練2】國家稅務部門規(guī)定個人稿費的納稅辦法是:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅;超過4 000元的按全稿費的11%納稅.某人出版了一本書,共納稅550元,問此人的稿費為多少元?
【解析】設(shè)納稅y(元)時稿費為x(元),則
由y>500知x>4 000,所以x×11%=550?x=5 000,
所以此人稿費為5 000元.
題型三 生活中的優(yōu)化
6、問題
【例3】(xx湖北模擬)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最???并求最小值.
【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm,由題設(shè),每年能源消耗費用為C(x)=,
再由C(0)=8得k=40,因此C(
7、x)=.而建造費用為C1(x)=6x.
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-,令f′(x)=0,即=6,
解得x=5,x=-(舍去).
當0<x<5時,f′(x)<0;當5<x<10,f′(x)>0,
故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為f(5)=6×5+=70.
當隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小值70萬元.
【點撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型,可由數(shù)據(jù)的變化情況對其單調(diào)性、對稱性和特定值進行判斷,也可以從所給的部分數(shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式,再由其他數(shù)據(jù)
8、進一步判斷.
【變式訓練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當截取的矩形面積最大時,矩形兩邊長x、y應為x= ,y= .
【解析】如圖,由已知有=,
即4x+5y-120=0,
S=xy=(4x5y)≤()2=180.
所以?x=15,y=12.
總結(jié)提高
利用數(shù)學模型解決實際問題,運用數(shù)學建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型,它們的增長存在很大的差異,如指數(shù)函數(shù)增長是指數(shù)“爆炸”,對數(shù)函數(shù)增長是逐步趨于平衡,而冪函數(shù)增長遠低于指數(shù)函數(shù),因此建立恰當數(shù)學模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象,對某些發(fā)展趨勢進行預測具有很強的現(xiàn)實意義.