2022年高考數學 高頻考點、提分密碼 第五部分 數列 新人教版

2022年高考數學 高頻考點、提分密碼 第五部分 數列 新人教版一、 考試要求理解數列的概念，了解數列通項公式的意義。了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項。理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前幾項和公式，并能解決簡單的實際問題。理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。二、知識方法與技巧1.根據數列的前幾項寫出它的通項公式時，其通項公式不唯一.例如：1，2，4，.通項an=2n1 或an=1.數列通項公式an=f(n)，其圖象是y軸右側的坐標為(n,an)的一系列孤立點.2.由于數列是特殊的函數，所以判斷數列的單調性與判斷函數的單調性方法基本是相同的，只需比較an與an+1的大小即可.利用遞推公式或者an與Sn的關系式解題時，一般要驗證初始值n是否適合所求的式子，即an=；涉及an1或Sn1時，應分n=1和n2兩種情況考慮；等比數列求和時，要考慮公比q是否為1.3.若三數成等差數列，則可設三數為ad,a,a+d；若三數成等比數列，則可設,a,aq.4.證明數列an是等差數列（等比數列），必須根據等差數列（等比數列）的定義加以證明.證明數列an不是等差數列（等比數列），只須說明a1,a2,a3不成等差數列（等比數列）即可.5.數列an為等差數列的充要條件的幾種表示（即等差數列的判定方法）：an+1an=d(常數)；2an+1=an+an+2；an=kn+b (k、b為常數)，其中公差d=k.Sn=An2+Bn.數列an為等比數列的充要條件的幾種表示（即等比數列的判定方法）：=q(常數)；an+12=anan+2；an=aqn(aq0，且a、q為常數)6.當公差d0時，等差數列的前n項和Sn方可表示為關于n的不含常數項的二次函數，且二次項系數的2倍就是公差.11.求等差數列前n項和Sn最值的方法：可轉化為二次函數，求最值；應用以下結論：當公差d<0時， Sn最大an0且an+10；當公差d>0時，Sn最小an0且an+10.利用f(n)=Sn的拋物線特征解小題(d0).12.等比數列的任一項及公比都不能為0；常數數列不一定是等比數列；G2=ab是a、G、b成等比數列的必要條件而非充分條件.13.若an是等差數列，則是等比數列(a0的常數)；若an是等比數列，且an>0，則logaan是等差數列(a為常數).14.求數列an的最值常見方法：利用通項公式an的本身特征求解；若an是單調數列，則可利用單調性求解；若對一切nN*都有，an>0 (an<0)，則an最大；an最小. 15.求數列an前n項和Sn，關鍵是根據通項an的特征，去尋求求和的方法，常見幾種方法：通項裂項法；錯位相差法；累加（累乘）法；逆項相加法.16.分期付款中，要弄清商品售價到貸款全部付清時增值到多少；各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少；如何利用分期付款中的有關規(guī)定列出方程；解方程時，如何利用等比數列的知識進行有關計算。17.an=a1+(a2a1)+(a3a2)+(anan1)，an=a1××（an0）等比中項如果在a與b中間插入一個數G，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.如果G是a與b的等比中項，那么=，即G2=ab，因此，G=±G是a,b的等比中項的充要條件是G2=ab（或G=±），其中ab>0，條件ab>0不能少，如果ab=0，a,b中至少有一個為0，那么a,g,b就不為等比數列，只有同號的兩個數才有等比中項，等比中項有兩個，它們互為相反數，這一點與等差中項不同.一個等比數列從第2項起，每一項（有窮等比數列的末項除外）是它的前一項與后一項的等比中項。2.等比數列性質若首項a1>0，公比q>1，或首項a1<0，公比0<q<1，則數列為遞增數列；若首項a1>0，公比0<q<1或首項a1<0，公比q>1，則數列為遞減數列；公比q=1，數列為常數列；公比q<0，數列為擺動數列，公比不等于零是一大特色.有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項積相等，并且等于首末兩項之積；特別地，若項數為奇數，還等于中間項的平方，即：a1·an=a2·an1=a3·an2=.若m,n,p,kN*，且m+n=p+k，則am·an=ap·ak，其中am，an，ap，ak是數列中的項，特別地，當m+n=2p時，有am·an=類似于等差數列，在使用該性質時，不僅應注意等式兩邊下標和相等，也應要求等式兩邊作積的項數應是一樣多的.若數列an與bn均為等比數列，則m·an·bn與|仍為等比數列，其中m是不為零的常數.等比數列an，通項公式an=a1·qn1=·qn，則an可表示為an=c·qn，其中C=，q為公比.等比數列an的前n項和Sn=(q1)，則Sn可表示為Sn=kk·qn，其中q為公比，q0，q1，k=.等差中項任意兩個數a,b有且只有一個等差中項，即A=.A=是a,A,b成等差數列的充要條件，因此，兩個數的等差中項就是這兩個數的算術平均數.在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外），都是它的前一項與后一項的等差中項.2、等差數列的性質若公差d>0，則此數列為遞增數列；若d<0，則此數列為遞減數列；若d=0，則此數列為常數列.有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地，若項數為奇數，還等于中間項的2倍，即a1+an=a2+an1=a3+an2=2a中若m,n,p,kN*，且m+n=p+k，則am+an=ap+ak，其中am,an,ap,ak，是數列中的項，特別地，當m+n=2p時，有am+an=2ap.這條性質，還可以推廣到有三項、四項等情形，使用該性質時，一要注意等式兩邊下標和相等，二要注意等式兩邊和的項數應是一樣多的.在等差數列中，每隔相同的項抽出來的項按照原來順序排列，構成的新數列仍然是等差數列，但剩下的項按原順序構成的數列不一定是等差數列.等差數列中連續(xù)幾項之和構成的新數列仍然是等差數列.若數列an與bn均為等差數列，則man+kbn仍為等差數列，其中m,k均為常數.等差數列an通項公式an=a1+(n1)d=dn+(a1d)，則an可表示為：an=kn+b，（其中k為等差數列的公差，它可以是任意實數）.等差數列的前n項和Sn=na1+(n1)d=n2+(a1)，則Sn表示為：Sn=an2+bn，其中a,b也可以是任意實數，常數項為0是一大特色.另外，等差數列中還有以下性質須注意：等差數列an中，若an=m，am=n，(mn)則am+n=0.等差數列an中，若Sn=m，Sm=n,（mn_，則Sm+n=(m+n).等差數列an中，若Sn=Sm(mn)，則Sm+n=0.若an與bn均為等差數列，且前n項和分別為Sn與，則.項數為偶數2n的等差數列an，有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項)；S偶S奇=nd；.項數為奇數(2n1)的等差數列an，有S2n1=(2n1)an(an為中間項)；S奇S偶=an；.S奇、S偶分別為數列中所有奇數項的和與所有偶數項的和.等差數列an的一些性質對于任意正整數n，都有an+1an=a2a1an的通項公式：an=(a2a1)n+(2a1a2)對于任意正整數p、q、r、s，如果p+q=r+s，則ap+aq=ar+as對于任意正整數p、q、r，如果p+r=2q，則有ap+ar=2aq對于任意正整數n>1，有2an=an1+an+1對于任意非零實數b，數列ban是等差數列，則數列an是等差數列已知數列bn是等差數列，則an±bn也是等差數列a2n，a2n1，a3n1，a3n2等都是等差數列S3m=3(S2mSm).若Sn=Sm (mn)，則Sm+n=0若Sp=q，Sq=p，則Sp+q=(p+q) (pq)Sn=an2+bn，反之亦成立.等比數列定義：=q (常數q為公比)通項公式：an=a1qn1前n項和公式Sn=通項公式推廣：an=am·qnm等比數列an的一些性質對于任意正整數n，均有對于任意正整數p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則ap·aq=ar·as對于任意正整數p、q、r，如果p+r=2q，則ap·ar=對任意正整數n>1，有=an1·an+1對于任意非零實數b，ban也是等比數列已知bn是等比數列，則anbn也是等比數列