2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 3 三角函數(shù)與平面向量教學(xué)案 理

3.三角函數(shù)與平面向量要點(diǎn)重溫·1三角函數(shù)的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r>0，那么sin ，cos ，tan (x0)特別地，當(dāng)r1時(shí)，sin y，cos x，tan .應(yīng)用1已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3，4)，則sin cos 的值為_答案2弧長公式：l|R，扇形面積公式：SlR|R2,1弧度(1 rad)57.3°.應(yīng)用2已知扇形的周長為8 cm，圓心角為2 rad，求該扇形的面積解設(shè)扇形的半徑為r, 弧長為l，則有，解得 .故扇形的面積為Srl4 cm2.3關(guān)于函數(shù)yAsin(x)，( A，>0)五點(diǎn)法作圖；應(yīng)用3函數(shù)f(x)sin x2|sin x|, x(0,2)的圖象與直線yk有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案(1,3)(要作出yf(x)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解. ) 周期T.一般來說，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半如ysin2x, y|cos x|，但y|tan x|的周期是，y|sin x|cos x|的周期是；函數(shù)ysin(x2), ysin|x|都不是周期函數(shù)應(yīng)用4函數(shù)y|sin x|cos x1的最小正周期與最大值分別為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804168】解析y 作出其圖象(圖略)知原函數(shù)的最小正周期為2，最大值為. 答案2； 單調(diào)性和對稱性：ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)；對稱軸為xk(kZ)；對稱中心為(k，0)(kZ)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k， 2k(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間為2k，2k(kZ)；對稱軸為xk(kZ)；對稱中心為(k，0)(kZ)ytan x的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)；對稱中心為(kZ)應(yīng)用5函數(shù)f(x)2sin，x，0的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析x，0，x，令zx，則z，正弦函數(shù)ysin z在上單調(diào)遞增，由x得：x0.函數(shù)f(x)2sin在x，0的單調(diào)遞增區(qū)間為.函數(shù)f(x)2sin在x，0的單調(diào)遞減區(qū)間為.答案應(yīng)用6求函數(shù)ysin4x2sin xcos xcos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在 0，上的單調(diào)遞增區(qū)間解函數(shù)ysin4x2sin xcos xcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin2x sin2xcos2x2sin(2x)故該函數(shù)的最小正周期是.當(dāng)2x2k時(shí)，即xk時(shí)，y有最小值由于函數(shù)y2sin，ymin2，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.令k0時(shí)， x.又0x，0x， k1時(shí)， x又0x.x.故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是2；單調(diào)遞增區(qū)間是，. 變換：ysin xysinysinysin xysin(2x)ysin你知道上述兩種變換過程的區(qū)別嗎？應(yīng)用7要得到函數(shù)ycos x的圖象，只需將函數(shù)ysin的圖象上所有的點(diǎn)()A橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動個(gè)單位長度 B橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動個(gè)單位長度 C橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動個(gè)單位長度 D橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動個(gè)單位長度解析將函數(shù)ysin(2x)圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)ysin(x)的圖象；再向左平行移動個(gè)單位長度后便得ysin(x)cos x的圖象故選C.答案C應(yīng)用8將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804169】ABC0D解析ysin(2x)ysinsin，由于所得函數(shù)為偶函數(shù)，則f(0)sin±1，kk，kZ，取k0得，故選A.答案A用待定系數(shù)法求函數(shù)yAsin(x)解析式由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定，由圖象上“特殊點(diǎn)”的坐標(biāo)來確定.特別提醒：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x002k(kZ)，其他依次類推即可應(yīng)用9已知函數(shù)ysin(x)(0，)的圖象如圖4所示，則_.圖4解析由圖象可得T2，解之得.將代入ysin，得sin1，則2k，kZ，即2k，kZ.又，)，. 答案.4三角恒等變換的切入點(diǎn)(1)角的變換：可利用和、差、倍、半角公式；(2)名的互換：誘導(dǎo)公式、正切化正余弦公式；(3)次的變換：利用升、降冪公式；(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式值得注意的是：在三角恒等變換中，要特別注意角的各種變換如：()，()， ；應(yīng)用10已知sin()，則sin(2)_.解.(提示：設(shè))注意sin cos ，sin cos ，sin cos 三者間的關(guān)系應(yīng)用11已知，sin cos ，求的值解， 因?yàn)椋瑂in cos ，所以sin cos ，sin cos ，所以原式.在三角函數(shù)的求值問題中，要特別關(guān)注角的范圍，通常需要結(jié)合已知的三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍，以確定所求值的符號，這是此類問題中的難點(diǎn)應(yīng)用12設(shè)為第四象限的角，若，則tan2_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804170】解析cos22cos22cos21cos2.又為第四象限角，即2k2k2，kZ，4k324k4，kZ，即2為第三、四象限角sin2.tan2.答案注意二倍角公式的變形，如： sin2，cos2.輔助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan.應(yīng)用13已知函數(shù)f(x)sincoscos2 .(1) 將f(x)寫成Asin(x)k的形式并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；(2) 如果ABC的三邊，a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域解(1)f(x)sin，由sin0，即x k(kZ)得x，kZ.即對稱中心的橫坐標(biāo)為，kZ.(2)由已知b2ac，cos x，又xB(0，)，0x，x(，sinsin1.<sin1， 即f(x)的值域?yàn)?5解三角形(1)正弦定理：2R；(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，cos A；(3)內(nèi)切圓半徑：r；面積公式：Sabsin Cbcsin Acasin B；注意：你要會證明正弦定理和余弦定理應(yīng)用14在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b，cos Asin B(csin A)cos(AC)0.(1)求角B的大小；(2)若ABC的面積為，求sin Asin C的值解(1)由cos Asin B(csinA)cos(AC)0，得cos Asin B(csin A)cos B0，即sin(AB)ccos B，sin Cccos B，cos B，因?yàn)椋詂os B，即tan B，B.(2)由Sacsin B，得ac2，由b及余弦定理得()2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac，所以ac3，所以sin Asin C(ac).(4)解三角形時(shí)，可能會出現(xiàn)多解的情況，一定要注意檢驗(yàn)比如，在已知兩邊a，b及一邊的對角A的情況下，如果A為銳角，那么可能出現(xiàn)以下情況(如圖5). 圖5absin Aabsin Absin Aabab 無解一解 兩解一解應(yīng)用15在ABC中，已知b6，c10，B30°，則解此三角形的結(jié)果有() 【導(dǎo)學(xué)號：07804171】A無解B一解C兩解D一解或兩解解析由正弦定理知sin C，又由c>b>csin B知，C有兩解也可依已知條件，畫出ABC(圖略)，由圖知有兩解故選C.答案C6向量共線基本定理：ab存在實(shí)數(shù)，使得ba(a0)x1y2x2y10應(yīng)用16若a(2，2)，則與a平行的單位向量的坐標(biāo)為_答案，7平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.特別地，12，則121是三點(diǎn)P，A，B共線的充要條件應(yīng)用17如圖6，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若，則_.圖6解析由B，H，C三點(diǎn)共線，可令x(1x).又M是AH的中點(diǎn)，所以x(1x).又，所以x(1x).答案8夾角與數(shù)量積的關(guān)系(1)當(dāng)為銳角時(shí)，a·b0，且a、b不同向，a·b>0是為銳角的必要不充分條件；(2)當(dāng)為直角時(shí)，a·b0，但由a·b0，不能得到ab，還可能a0或b0.(3)當(dāng)為鈍角時(shí)，a·b0，且a、b不反向，a·b<0是為鈍角的必要不充分條件應(yīng)用18已知a(2,1)，b(，1)，R，a與b的夾角為.若為銳角，則的取值范圍是_解析由為銳角，得a·b0，且a、b不同向0<1，解得的取值范圍是|>且2答案|>且29解決向量問題有兩條途徑：數(shù)的角度：利用平面向量基本定理，用兩個(gè)基向量表示所求向量； 建系，利用坐標(biāo)運(yùn)算形的角度：利用向量運(yùn)算的幾何意義應(yīng)用19如圖7在ABC中，BAC120°，AB1，AC2，D為BC邊上一點(diǎn)，2，則·_.圖7答案10向量中常用的結(jié)論：(1) (，為實(shí)數(shù))，若1，則三點(diǎn)A、B、C共線；(2)在ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，則()；(3)已知O，N，P在ABC所在平面內(nèi)若|，則O為ABC的外心；若0，則N為ABC的重心；若···，則P為ABC的垂心應(yīng)用20已知O是邊長為1的正三角形ABC的中心，則()·()_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804172】解析取邊長為1的等邊ABC的邊AB的中點(diǎn)為D，邊AC的中點(diǎn)為E，則2，2，而由等邊三角形的性質(zhì)可得，OA2OD，ODAB，所以AOD，同理可得AOE，再根據(jù)ODOE·，可得()·()2·24·4××cos.答案查缺補(bǔ)漏·1點(diǎn)A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C因?yàn)閟in2 018°sin(11×180°38°)sin 38°<0，cos 2 018°cos(11×180°38°)cos 38°<0，所以點(diǎn)A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，選C.2若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A.BC.DA(ab)(3a2b)(ab)·(3a2b)03a22b2a·b0a·bb2.cosa，ba，b.選A.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，則sin B為()【導(dǎo)學(xué)號：07804173】A.BC.DA因?yàn)閎sin Basin Aasin C，所以b2a2ac，c2a，a2c2b24a2ac3a2，cos B，由于0<B<，解得：sin B，故選A.4將函數(shù)f(x)sin(2x)的圖象向右平移個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為()A.BCDDf(x)sin(2x)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)sinsin2x，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則k，kZ.又|，所以，所以f(x)sin.因?yàn)?x，所以2x，所以f(x)的最小值為sin，故選D.5在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2b22c2，則cos C的最小值為()ABCDCcos C，又a2b22ab，2ab2c2.cos C.cos C的最小值為.6如圖8，平行四邊形ABCD中，AB2，AD1，A60°，點(diǎn)M在AB邊上，且AMAB，則·等于()圖8ABC1D1D，又，所以·()·()22·1·|·|cos 60°×1×2×1.7函數(shù)f(x)2sin(x)(0,0)的部分圖象如圖9所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是() 【導(dǎo)學(xué)號：07804174】圖9A6k1,6k2(kZ)B6k4,6k1(kZ)C3k1,3k2(kZ)D3k4,3k1(kZ)B|AB|5，|yAyB|4，|xAxB|3，即3，T6，.f(x)2sin過點(diǎn)(2，2)，即2sin2，sin1，又0，解得，f(x)2sin，由2kx2k(kZ)，得6k4x6k1(kZ)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為6k4,6k1(kZ)故選B.8在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為ABC的外心，D為BC邊上的中點(diǎn)，c4，·5，sin Csin A4sin B0，則cos A()A.BC.DC由題意O為ABC的外心，D為BC邊上的中點(diǎn)，可得：()，·5，可得·()(·)(·)5，同理，5，即5；c4，b2，又sin Csin A4sin B0，4bca，a4，由余弦定理可得：cos A，故選C.9已知cos ，sin()，0<<，0<<，則cos _.0<<且cos <cos ，<<.又0<<，<<，又sin()<，<<.cos()，sin .cos cos()cos()cos sin()sin .10當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為_解析f(x)4tan x4，當(dāng)且僅當(dāng)tan x時(shí)取等號，所以最小值為4.答案411某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)B(A>0，>0，|<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：xx1x2x3x02Asin(x)B14121(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若<<，f，求f的值. 【導(dǎo)學(xué)號：07804175】解(1)由題意可得，即.由題意可得，即函數(shù)f(x)的解析式為：f(x)3sin1(2)由f可得3sin1，化簡得sin，f3sin13sin1 3sin16sin·cos1.又，cos，f6sincos16××1.12(2017·青島模擬)已知向量，a，b，實(shí)數(shù)k為大于零的常數(shù)，函數(shù)f(x)a·b，xR，且函數(shù)f(x)的最大值為.(1)求k的值；(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，若<A<，f(A)0，且a2，求·的最小值解(1)由已知f(x)a·b·ksincoskcos2ksink·sin.因?yàn)閤R，所以f(x)的最大值為，則k1.(2)由(1)知，f(x)sin，所以f(A)sin0化簡得sin.因?yàn)?lt;A<，所以<<.則，解得A.因?yàn)閏os A，所以b2c2bc40，則b2c2bc402bcbc，所以bc20(2)則·|cosbc20(1)所以·的最小值為20(1)16