2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布1完整講義(學(xué)生版)

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布1完整講義(學(xué)生版) 知識內(nèi)容 1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗中,試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示,并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的,我們把這樣的變量叫做一個隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母表示. 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來,則稱為離散型隨機(jī)變量. ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示: … … … … 我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量的概率分布,或稱為離散型

2、隨機(jī)變量的分布列. 2.幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中,,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點分布. 二點分布舉例:某次抽查活動中,一件產(chǎn)品合格記為,不合格記為,已知產(chǎn)品的合格率為,隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果,則的分布列滿足二點分布. 兩點分布又稱分布,由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗叫做伯努利試驗,所以這種分布又稱為伯努利分布. ⑵超幾何分布 一般地,設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品,其中一類有件,從所有物品中任取件,這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量,它取值為時的概率為 ,為和中較小的一

3、個. 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱服從參數(shù)為,,的超幾何分布.在超幾何分布中,只要知道,和,就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率,從而列出的分布列. ⑶二項分布 1.獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗,只考慮有兩個可能的結(jié)果及,并且事件發(fā)生的概率相同.在相同的條件下,重復(fù)地做次試驗,各次試驗的結(jié)果相互獨立,那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗.次獨立重復(fù)試驗中,事件恰好發(fā)生次的概率為. 2.二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為,事件不發(fā)生的概率為,那么在次獨立重復(fù)試驗中,事件恰好發(fā)生次的概率是,其中.于是得到的分布列 … … …

4、 … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項分布, 記作. 二項分布的均值與方差: 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項分布,則 ,. ⑷正態(tài)分布 1. 概率密度曲線:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,在樣本容量越來越大時, 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中,如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量,則這條曲線稱為的概率密度曲線. 曲線位于橫軸的上方,它與橫軸一起所圍成的面積是,而隨機(jī)變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積. 2.正態(tài)分布 ⑴定義:如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的,而且每一

5、個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用,則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布. 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量,簡稱正態(tài)變量. 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為,,其中,是參數(shù),且,. 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作. 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線. ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:我們把數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ⑶重要結(jié)論: ①正態(tài)變量在區(qū)間,,內(nèi),取值的概率分別是,,. ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為,在區(qū)間之外的取值的概率是,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之

6、內(nèi),這就是正態(tài)分布的原則. ⑷若,為其概率密度函數(shù),則稱為概率分布函數(shù),特別的,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得. 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求,適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可. 3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義:一般地,設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是,,…,,這些值對應(yīng)的概率是,,…,,則,叫做這個離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望). 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的平均取值水平. 2.離散型隨機(jī)變量的方差 一般地,設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是,,…,,這

7、些值對應(yīng)的概率是,,…,,則叫做這個離散型隨機(jī)變量的方差. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度). 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,它也是一個衡量離散型隨機(jī)變量波動大小的量. 3.為隨機(jī)變量,為常數(shù),則; 4. 典型分布的期望與方差: ⑴二點分布:在一次二點分布試驗中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為,在次二點分布試驗中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為. ⑵二項分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項分布,則,. ⑶超幾何分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布, 則,. 4.事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率

8、沒有影響,即, 這時,我們稱兩個事件,相互獨立,并把這兩個事件叫做相互獨立事件. 如果事件,,…,相互獨立,那么這個事件都發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即,并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立. 5.條件概率 對于任何兩個事件和,在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號“”來表示.把由事件與的交(或積),記做(或). 典例分析 【例1】 在拋擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗中,令,如果針尖向上的概率為,試寫出隨機(jī)變量的概率分布. 【例2】 從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一只球,用表示“取到的

9、白球個數(shù)”,即 ,求隨機(jī)變量的概率分布. 【例3】 若隨機(jī)變量的概率分布如下: 0 1 試求出,并寫出的分布列. 【例4】 拋擲一顆骰子兩次,定義隨機(jī)變量 試寫出隨機(jī)變量的分布列. 【例5】 籃球運動員比賽投籃,命中得分,不中得分,已知運動員甲投籃命中率的概率為. ⑴ 記投籃次得分,求方差的最大值; ⑵ 當(dāng)⑴中取最大值時,甲投次籃,求所得總分的分布列及的期望與方差.

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