2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.8拋物線(xiàn)配套訓(xùn)練 理 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.8拋物線(xiàn)配套訓(xùn)練 理 新人教A版基礎(chǔ)鞏固1.若點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)【答案】D【解析】依題意知,點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離,故點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn).2.在拋物線(xiàn)y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為()A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】由拋物線(xiàn)的定義得4+=5,故p=2.3.過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線(xiàn),使它與拋物線(xiàn)y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線(xiàn)有()A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】C【解析】結(jié)合圖形(圖略)分析可知,滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)共有3條:直線(xiàn)x=0,過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線(xiàn)以及過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)(非直線(xiàn)x=0).4.已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12,則此弦所在直線(xiàn)的傾斜角是()A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)弦為AB,則由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式有|AB|=,即=12,sin =.=.5.已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.B.C.(1,2)D.(1,-2)【答案】A【解析】點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離,如圖,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得,此時(shí)P,Q的縱坐標(biāo)都是-1,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.6.已知拋物線(xiàn)y2=4x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B,C和點(diǎn)A(1,2),且BAC=90°,則動(dòng)直線(xiàn)BC必過(guò)定點(diǎn)()A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)【答案】C【解析】設(shè)B,C,BC的中點(diǎn)為D(x0,y0),則y1+y2=2y0,直線(xiàn)BC的方程為,即4x-2y0y+y1y2=0;又·=0,y1y2=-4y0-20,代入式得2(x-5)-y0(y+2)=0,由此可知?jiǎng)又本€(xiàn)BC恒過(guò)x-5=0與y+2=0的交點(diǎn)(5,-2).7.(xx·遼寧卷,12)已知P,Q為拋物線(xiàn)x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,Q分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),兩切線(xiàn)交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為()A.1B.3C.-4D.-8【答案】C【解析】如圖所示,由已知可設(shè)P(4,y1),Q(-2,y2),點(diǎn)P,Q在拋物線(xiàn)x2=2y上,P(4,8),Q(-2,2).又拋物線(xiàn)可化為y=x2,y'=x,過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率為y'=4,過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)為y-8=4(x-4),即y=4x-8.又過(guò)點(diǎn)Q的切線(xiàn)斜率為y'=-2,過(guò)點(diǎn)Q的切線(xiàn)為y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.聯(lián)立解得x=1,y=-4,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4.8.設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2). 若線(xiàn)段FA的中點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上,則點(diǎn)B到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為. 【答案】【解析】由已知得B,將其代入y2=2px,得1=2p×,p=(p>0),則B點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.9.(xx·安徽卷,14)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3,則|BF|=. 【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及拋物線(xiàn)定義可得,x1+1=3,即x1=2.故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),則直線(xiàn)AB的斜率為k=2.從而直線(xiàn)AB的方程為y=2(x-1).由消去y得,2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=.故|BF|=x2+1=.10.(xx·浙江卷,17)定義:曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最小值稱(chēng)為曲線(xiàn)C到直線(xiàn)l的距離.已知曲線(xiàn)C1:y=x2+a到直線(xiàn)l:y=x的距離等于曲線(xiàn)C2:x2+(y+4)2=2到直線(xiàn)l:y=x的距離,則實(shí)數(shù)a=. 【答案】【解析】 x2+(y+4)2=2到直線(xiàn)y=x的距離為,所以y=x2+a到y(tǒng)=x的距離為,而與y=x平行且距離為的直線(xiàn)有兩條,分別是y=x+2與y=x-2,而拋物線(xiàn)y=x2+a開(kāi)口向上,所以y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=.11.(xx·課標(biāo)全國(guó)卷,20)設(shè)拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l.A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn).(1)若BFD=90°,ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上,直線(xiàn)n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.【解】(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=p.由拋物線(xiàn)定義可知A到l的距離d=|FA|=p.因?yàn)锳BD的面積為4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8.(2)因?yàn)锳,B,F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上,所以AB為圓F的直徑,ADB=90°.由拋物線(xiàn)定義知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30°,m的斜率為或-.當(dāng)m的斜率為時(shí),由已知可設(shè)n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故=p2+8pb=0.解得b=-.因?yàn)閙的截距b1=3,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為-時(shí),由圖形對(duì)稱(chēng)性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.12.如圖,直線(xiàn)l:y=x+b與拋物線(xiàn)C:x2=4y相切于點(diǎn)A.(1)求實(shí)數(shù)b的值;(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.【解】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切,所以=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即為x2-4x+4=0,解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故點(diǎn)A(2,1).因?yàn)閳AA與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切,所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的距離,即r=|1-(-1)|=2.所以圓A的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.13.已知一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與定直線(xiàn)l:x=-1相切,點(diǎn)C在l上.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為-的直線(xiàn)與曲線(xiàn)M相交于A,B兩點(diǎn),問(wèn)ABC能否為正三角形?若能,求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,說(shuō)明理由.【解】(1)依題意,曲線(xiàn)M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),所以曲線(xiàn)M的方程為y2=4x.如圖所示.(2)由題意得,直線(xiàn)AB的方程為y=-(x-1),由消y得3x2-10x+3=0.解得A,B(3,-2).若ABC能為正三角形,設(shè)C(-1,y),則|AC|=|AB|=|BC|,即組成的方程組無(wú)解,因此直線(xiàn)l上不存在點(diǎn)C使ABC是正三角形.拓展延伸14.如圖,過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn).(1)若|AB|=8,求直線(xiàn)AB的方程;(2)記拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為l',設(shè)直線(xiàn)OA,OB分別交l'于點(diǎn)N,M,求的值.【解】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=8,即x1+x2+p=8,又p=2,x1+x2=6.|AB|>2p,直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-1).由方程組消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=,即=6,得k=±1.直線(xiàn)AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),··=x1x2+y1y2=1-4=-3.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),由(1)知,x1x2=1,y1y2=-=-4,設(shè)M(-1,y3),N(-1,y4),B,O,M三點(diǎn)共線(xiàn),y3=-.同理可得y4=.·=(-1,y3)·(-1,y4)=1+y3y4=1+=-3.綜上,·=-3.