2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.8拋物線配套訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.8拋物線配套訓(xùn)練 理 新人教A版 基礎(chǔ)鞏固 1.若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【答案】D 【解析】依題意知,點(diǎn)P到直線x=-2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離,故點(diǎn)P的軌跡是拋物線. 2.在拋物線y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為(　　) A. B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】由拋物線的定義得4+=5,故p=2. 3.過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)

2、,則這樣的直線有(　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 【答案】C 【解析】結(jié)合圖形(圖略)分析可知,滿足題意的直線共有3條:直線x=0,過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0). 4.已知過(guò)拋物線y2=6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12,則此弦所在直線的傾斜角是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)弦為AB,則由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式有|AB|=,即=12,∴sin θ=.∴θ=. 5.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B.

3、C.(1,2) D.(1,-2) 【答案】A 【解析】點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離,如圖,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得,此時(shí)P,Q的縱坐標(biāo)都是-1,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為. 6.已知拋物線y2=4x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B,C和點(diǎn)A(1,2),且∠BAC=90°,則動(dòng)直線BC必過(guò)定點(diǎn)(　　) A.(2,5) B.(-2,5) C.(5,-2) D.(5,2) 【答案】C 【解析】設(shè)B,C,BC的中點(diǎn)為D(x0,y0),則y1+y2=2y0,直線BC的方程為, 即4x-2y0y+y1y2=0;① 又·=0,∴y1y2=-4y0-

4、20,代入①式得2(x-5)-y0(y+2)=0,由此可知?jiǎng)又本€BC恒過(guò)x-5=0與y+2=0的交點(diǎn)(5,-2). 7.(xx·遼寧卷,12)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為(　　) A.1 B.3 C.-4 D.-8 【答案】C 【解析】 如圖所示,由已知可設(shè)P(4,y1),Q(-2,y2), ∵點(diǎn)P,Q在拋物線x2=2y上, ∴ ∴ ∴P(4,8),Q(-2,2). 又∵拋物線可化為y=x2,∴y'=x, ∴過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為y'=4, ∴過(guò)點(diǎn)P的切線為y-8=4(x

5、-4),即 y=4x-8. 又∵過(guò)點(diǎn)Q的切線斜率為y'=-2, ∴過(guò)點(diǎn)Q的切線為y-2=-2(x+2), 即y=-2x-2. 聯(lián)立解得x=1,y=-4, ∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4. 8.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2). 若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為　　　.? 【答案】 【解析】由已知得B,將其代入y2=2px,得1=2p×,∴p=(p>0),則B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 9.(xx·安徽卷,14)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3,則|BF|=　　　　　.? 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1

6、,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及拋物線定義可得,x1+1=3,即x1=2.故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2), 則直線AB的斜率為k==2. 從而直線AB的方程為y=2(x-1). 由消去y得,2x2-5x+2=0, 解得x1=2,x2=. 故|BF|=x2+1=. 10.(xx·浙江卷,17)定義:曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實(shí)數(shù)a=　　　　　.? 【答案】 【解析】 x2+(y+4)2=2到直線y=x的距離為, 所以y=x2+a到y(tǒng)

7、=x的距離為,而與y=x平行且距離為的直線有兩條,分別是y=x+2與y=x-2,而拋物線y=x2+a開(kāi)口向上,所以y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=. 11.(xx·課標(biāo)全國(guó)卷,20)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn). (1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程; (2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值. 【解】(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=p. 由拋物線

8、定義可知A到l的距離d=|FA|=p. 因?yàn)椤鰽BD的面積為4, 所以|BD|·d=4, 即·2p·p=4, 解得p=-2(舍去),p=2. 所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8. (2)因?yàn)锳,B,F三點(diǎn)在同一直線m上, 所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90°. 由拋物線定義知|AD|=|FA|=|AB|, 所以∠ABD=30°,m的斜率為或-. 當(dāng)m的斜率為時(shí),由已知可設(shè)n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0. 由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=p2+8pb=0. 解得b=-. 因?yàn)閙的截距b1==3,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值

9、為3. 當(dāng)m的斜率為-時(shí),由圖形對(duì)稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3. 12. 如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A. (1)求實(shí)數(shù)b的值; (2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 【解】(1)由得x2-4x-4b=0.(*) 因?yàn)橹本€l與拋物線C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0, 解得b=-1. (2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即為x2-4x+4=0, 解得x=2,代入x2=4y,得y=1. 故點(diǎn)A(2,1). 因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切, 所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=-1的距離,

10、 即r=|1-(-1)|=2. 所以圓A的方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 13.已知一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點(diǎn)C在l上. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A,B兩點(diǎn),問(wèn)△ABC能否為正三角形?若能,求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,說(shuō)明理由. 【解】(1)依題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為y2=4x.如圖所示. (2)由題意得,直線AB的方程為y=-(x-1), 由 消y得3x2-10x+3=0. 解得A,B(3,-2). 若△ABC能為正三角形, 設(shè)C(

11、-1,y),則|AC|=|AB|=|BC|,即 ①②組成的方程組無(wú)解,因此直線l上不存在點(diǎn)C使△ABC是正三角形. 拓展延伸 14.如圖,過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn). (1)若|AB|=8,求直線AB的方程; (2)記拋物線C的準(zhǔn)線為l',設(shè)直線OA,OB分別交l'于點(diǎn)N,M,求的值. 【解】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=8, 即x1+x2+p=8, 又p=2,∴x1+x2=6. ∵|AB|>2p, ∴直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-1). 由方程組 消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2=, 即=6,得k=±1. ∴直線AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí), ··=x1x2+y1y2=1-4=-3. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),由(1)知,x1x2=1,y1y2=-=-4, 設(shè)M(-1,y3),N(-1,y4),B,O,M三點(diǎn)共線, ∴?y3=-.同理可得y4=. ∴·=(-1,y3)·(-1,y4)=1+y3y4=1+=-3. 綜上,·=-3.