2022年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第05講 函數(shù)解析式的求法

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1、2022年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第05講 函數(shù)解析式的求法 【知識要點】 一、求函數(shù)的解析式的主要方法有以下五種： 1、待定系數(shù)法：如果已知函數(shù)解析式的類型（函數(shù)是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等）時，可以用待定系數(shù)法. 2、代入法：如果已知原函數(shù)的解析式，求復合函數(shù)的解析式時，可以用代入法. 3、換元法：如果已知復合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式時，可以用換元法.換元時，注意新“元”的范圍. 4、解方程組法：如果已知抽象函數(shù)滿足的關系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量時，可以用解方程組的方法. 5、實際問題法：在實際問題中，根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式.

2、【方法講評】 方法一 待定系數(shù)法 使用情景 已知函數(shù)的類型. 解題步驟 根據(jù)已知先設出函數(shù)的解析式，再列方程（組）求待定系數(shù). 【例1】已知是一次函數(shù)，且滿足，求. 【點評】（1）本題由于已知函數(shù)的類型是一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（2） 由于對于定義域內(nèi)的任意一個值都成立，所以最后的 實際上是一個恒等式，所以可以比較等式兩邊的系數(shù)分別相等列方程組. 【例2】已知函數(shù)（的圖形的一個最高點為（2，），由這個最高點到相鄰的最低點時曲線經(jīng)過（6，0），求這個函數(shù)的解析式. 【解析】由題得 【點評】(1)對于三角函數(shù)，待定系數(shù)法同樣適用，

3、關鍵是通過已知條件找到關于待定系數(shù)的方程 （組）.(2)對于三角函數(shù)來說，一般利用最小正周期得到的方程，利用最值得到的方程，利用最值點得到的方程. 【反饋檢測1】已知為二次函數(shù)，且 ，且,圖象在軸上截得的線段長為2,求的解析式. 方法二 代入法 使用情景 （1）已知原函數(shù)的解析式，求復合函數(shù)的解析式；（2）已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 解題步驟 （1）直接代入原函數(shù)的解析式即可；（2）一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方程. 【例3】已知函數(shù)，求函數(shù)的表達式. 【解析】由題得 【點

4、評】本題就是已知原函數(shù)的解析式，求復合函數(shù)的解析式，所以只需直接用“”代換原函數(shù)中的“”即可.這就是代入法求函數(shù)的解析式. 【例4】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，求當時，的函數(shù)解析式. 【點評】本題就是已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 一般先在所求的函數(shù)的圖像上 任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方程.這是高中數(shù)學常見到的一種題型，要好好地理解和掌握. 【反饋檢測2】設函數(shù)的圖象為，關于點對稱的圖象為， 求對應的函數(shù)的表達式. 方法三 換元法 使用情景 已知復合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式. 解題步驟

5、 先換元，求出函數(shù)的自變量的表達式，再代入復合函數(shù)得到函數(shù)的解析式. 【例5】已知，求. 【解析】令（），則，∴， 所以. 【點評】（1）本題就是已知復合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.一般先換元，再求出函數(shù)的自變量的表達式，再代入復合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.（2）換元時，一定要注意新元的取值范圍，它就是所求函數(shù)的定義域. 【反饋檢測3】 已知求的解析式. 方法四 解方程組法 使用情景 已知抽象函數(shù)滿足的關系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量. 解題步驟 利用已知構(gòu)造另一個方程，得到一個方程組，解方程組即可. 【例6】已知滿足，求． 【解析】 ①，把①

6、中的換成，得 ②， ①②得，∴． 【點評】在已知的方程中有自變量和，它們互為倒數(shù)，所以可以把方程中的地方統(tǒng)一換成，從而又得到一個關于的方程，解關于的方程組即可. 【反饋檢測5】定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的表達式. 方法五 實際問題法 使用情景 實際問題 解題步驟 一般情況下根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域. 【例7】某人開汽車以的速度從地到遠處的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽車離開地的路程表示為時間（從地出發(fā)是開始）的函數(shù)，再把車速表示為時間的函數(shù)． 【點評】實際問題中求函數(shù)的解析式難度比較大，一般要認真讀題，再根據(jù)函數(shù)的

7、意義、自變量的意義及其它們之間的關系建立它們之間的函數(shù)關系.在寫函數(shù)的解析式時，要注意函數(shù)的定義域. 【反饋檢測6】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬元，但每生產(chǎn)件需要增加投入萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為件，銷售收入為函數(shù) 萬元，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）. （1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； （2）年產(chǎn)量為多少時，當年公司所得利潤最大. 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第05講：函數(shù)解析式的求法 參考答案 【反饋檢測1答案】 【反饋檢測1詳細解析】 【反饋檢測2答案】 【反饋檢測2詳細解析】設是函數(shù)圖象上任一點 ，則關于對稱點為在 上，即：即： 故. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細解析】 【反饋檢測6答案】（1）（2）當年產(chǎn)量為件時，公司所得利潤最大. （2）當時， ∴當年產(chǎn)量為件時，公司所得利潤最大， ∵該產(chǎn)品最多賣出件， ∴根據(jù)問題的實際意義可得，當年產(chǎn)量為件時，公司所得利潤最大.