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1、2022年高中數(shù)學 2-1-1,2-1-2 曲線與方程、求曲線的軌跡方程 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1
一、教學目標
(一)知識教學點
使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法.(二)能力訓練點
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹,培養(yǎng)學生綜合運用各方面知識的能力.
(三)學科滲透點
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹,使學生掌握常用動點的軌跡,為學習物理等學科打下扎實的基礎(chǔ).
二、教材分析
1.重點:求動點的軌跡方程的常用技巧與方法.
(解決辦法:對每種方法用例題加以說明,使學生掌握這種方法.)2.難點:作相關(guān)點法求動點的軌跡方法.
2、(解決辦法:先使學生了解相關(guān)點法的思路,再用例題進行講解.)
教具準備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。
教學設(shè)想:激發(fā)學生的學習熱情,激發(fā)學生的求知欲,培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,培養(yǎng)積極進取的精神.
三、教學過程
學生探究過程:
(一)復習引入
大家知道,平面解析幾何研究的主要問題是:
(1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程;
(2)通過方程,研究平面曲線的性質(zhì).
我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究,今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析.
(二)幾種常見求軌跡方程的方法
1.直接法
由題設(shè)所給(或通
3、過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式,再用坐標代替這等式,化簡得曲線的方程,這種方法叫直接法.
例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程;
(2)過點A(a,o)作圓O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割線,求割線被圓O截得弦的中點的軌跡.
對(1)分析:
動點P的軌跡是不知道的,不能考查其幾何特征,但是給出了動點P的運動規(guī)律:|OP|=2R或|OP|=0.
解:設(shè)動點P(x,y),則有|OP|=2R或|OP|=0.
即x2+y2=4R2或x2+y2=0.
故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0.
對(2)
4、分析:
題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件,但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出,即圓心與弦的中點連線垂直于弦,它們的斜率互為負倒數(shù).由學生演板完成,解答為:
設(shè)弦的中點為M(x,y),連結(jié)OM,
則OM⊥AM.
∵kOM·kAM=-1,
其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點).
2.定義法
利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程,這種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件,或利用平面幾何知識分析得出這些條件.
直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2-45),當Q點在
5、圓周上運動時,求點P的軌跡方程.
分析:
∵點P在AQ的垂直平分線上,
∴|PQ|=|PA|.
又P在半徑OQ上.
∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.
故P點到兩定點距離之和是定值,可用橢圓定義
寫出P點的軌跡方程.
解:連接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.
又P在半徑OQ上.
∴|PO|+|PQ|=2.
由橢圓定義可知:P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓.
3.相關(guān)點法
若動點P(x,y)隨已知曲線上的點Q(x0,y0)的變動而變動,且x0、y0可用x、y表示,則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程,即得點P的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)
6、點法(或代換法).
例3 已知拋物線y2=x+1,定點A(3,1)、B為拋物線上任意一點,點P在線段AB上,且有BP∶PA=1∶2,當B點在拋物線上變動時,求點P的軌跡方程.
分析:
P點運動的原因是B點在拋物線上運動,因此B可作為相關(guān)點,應先找出點P與點B的聯(lián)系.
解:設(shè)點P(x,y),且設(shè)點B(x0,y0)
∵BP∶PA=1∶2,且P為線段AB的內(nèi)分點.
4.待定系數(shù)法
求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.
例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲
曲線方程.
分析:
因為雙曲線以坐標軸為對稱軸,實軸在y
7、軸上,所以可設(shè)雙曲線方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點,根據(jù)它們的對稱性,這兩個點的橫坐標應相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根.
∴△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.
(以下由學生完成)
由弦長公式得:
即a2b2=4b2-a2.
(三)鞏固練習
用十多分鐘時間作一個小測驗,檢查一下教學效果.練習題用一小黑板給出.
1.△ABC一邊的兩個端點是B(0,6)和C(0,-6),另兩邊斜率的
2.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2,求點P的軌跡方程,并說明軌跡是什
8、么圖形?
3.求拋物線y2=2px(p>0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程.
答案:
義法)
由中點坐標公式得:
(四)、教學反思
求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法,還有參數(shù)法、復數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法,這等到講了參數(shù)方程、復數(shù)以后再作介紹.
五、布置作業(yè)
1.兩定點的距離為6,點M到這兩個定點的距離的平方和為26,求點M的軌跡方程.
2.動點P到點F1(1,0)的距離比它到F2(3,0)的距離少2,求P點的軌跡.
3.已知圓x2+y2=4上有定點A(2,0),過定點A作弦AB,并延長到點P,使3|AB|=2|AB|,求動點P的軌跡方程.作業(yè)答案:
1.以兩定點A、B所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,得點M的軌跡方程x2+y2=4
2.∵|PF2|-|PF|=2,且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x<1,軌跡是一條射線
六、板書設(shè)計