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1、2022屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專項(xiàng)二 解答題專項(xiàng) 十一、幾何綜合探究題練習(xí)
類型1 探究線段長(zhǎng)度的極值和定值問題
1.（xx·某高新一中模擬）如圖，直線l外有一點(diǎn)D,D到直線l的距離是5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,tan∠CAB=,邊AB在直線l上滑動(dòng)，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值是多少？
2.（xx·某鐵一中模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥AC,連接EC，F(xiàn)A,求EC+FA的最小值是多少。
3.（xx·某交大附中模擬）在△A
2、BC中,∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，P是平面上一點(diǎn)，且DP=1,連接BP，CP,將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PB′,連接AB′,則AB′的最大值為多少？
4.（xx·某工大附中模擬）（1）如圖①，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3,DE=CD=1,連接AD,BE,求。
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4,過點(diǎn)A作AM⊥AB,P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,作CQ⊥CP,交線段AB于點(diǎn)Q,求PQ的最小值。
(3)小姜準(zhǔn)備加工一個(gè)四邊形零件，如圖③
3、，這個(gè)零件的示意圖為四邊形ABCD，要求BC=4,∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD。請(qǐng)你幫小姜求出這個(gè)零件的對(duì)角線BD的最大值。
類型2 探究圖形面積的最值問題
5.【問題提出】
(1)如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,△ABC的最大面積是 。
(2)如圖②，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC+BD=14,求菱形的最大面積。
【問題解決】
(3)如圖③，趙師傅用一個(gè)半徑為a的圓形板材，想制作一個(gè)面積最大的矩形。能否裁出？若能，請(qǐng)算出這個(gè)矩形的最大面積；若不能，請(qǐng)說明理由。
6.（
4、xx·某工大附中模擬）【問題探究】
（1）如圖①，在矩形ABCD中，P是AB上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贏D上求作一點(diǎn)Q，使∠QPC=60°。
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=7,P是AB上一點(diǎn)，且AP=3,E是BC上一點(diǎn)，且BE=43,點(diǎn)Q在AD邊上，且∠QPE=60°，求△PQE的面積。
【問題解決】
（3）為了積極響應(yīng)政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號(hào)召，某小區(qū)建造如圖③的休閑廣場(chǎng)。在矩形ABCD中，AB=100米，BC=180米，P為AB上一點(diǎn)，且AP∶PB=2∶3,E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在AD邊上，且滿足∠QPE=60°，其中△APQ，△BPE為景觀綠化區(qū)，四邊形CDQE為健身休閑區(qū)
5、，△PQE為商業(yè)活動(dòng)區(qū)，為了更好地服務(wù)于廣大業(yè)主，希望極大地減少商業(yè)服務(wù)區(qū)的面積，那么按此要求修建的商業(yè)活動(dòng)區(qū)△PQE是否存在最小面積？如果存在，求出最小面積；如果不存在，說明理由。
7.（xx·某高新一中模擬）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°，則四邊形ABCD的面積為多少？
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=2，BC=3,在AD，CD上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn),使△BEF的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)。
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=
6、BC=2,AD=CD=3,∠ABC=150°，∠BCD=90°，在四邊形ABCD中（包括邊緣）是否存在一點(diǎn)E,使∠AEC=30°，且使四邊形ABCE的面積最大？若存在，找出點(diǎn)E的位置，并求出四邊形ABCE的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由。
8.（xx·某高新一中模擬）如圖①，在四邊形ABCD中，如果對(duì)角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為“等角線四邊形”。
（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中 是“等角線四邊形”(填寫圖形名稱)；
②若M,N,P,Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線AC,BD還要滿足
7、 時(shí)四邊形MNPQ是正方形。
(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D為平面內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形ABCD是等角線四邊形，且AD=BD，求四邊形ABCD的面積。
（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=4,點(diǎn)E是以C為圓心1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若四邊形ABED是“等角線四邊形”，求四邊形ABED的面積的最大值，并說明理由。
類型3 探究圖形面積的分割問題
9.【問題探究】
（1）如圖①，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)P畫一條直線l1，使其將平行四邊形ABCD分成面積和周長(zhǎng)分別相等的兩部分。
【問題探
8、究】
（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6）。已知點(diǎn)P（6，7）為矩形外一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)P畫一條能將矩形OABC分成面積和周長(zhǎng)分別相等的兩部分的直線l2，說明理由并求出直線l2被矩形OABC截得的線段的長(zhǎng)度。
【問題解決】
（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，五邊形OABCD的邊OA，OD分別在x軸、y軸的正半軸上，DC∥x軸，AB∥y軸，且OA=OD=8，AB=CD=2，點(diǎn)P（10-5，10-5）為五邊形OABCD內(nèi)一點(diǎn)。請(qǐng)問：是否存在過點(diǎn)P的直線l3，與邊OA，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且將五邊形OABCD分成
9、面積和周長(zhǎng)分別相等的兩部分?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。
10.（xx·交大附中模擬）【問題探究】
（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，M是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCO邊上一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)M（0，3）作一條直線，使它將正方形的面積二等分，求這條直線的解析式。
（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中有A（1,4）,B（4,0）兩點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)C作一條直線將△ABO的面積二等分，求這條直線的解析式。
【問題解決】
（3）農(nóng)民張伯伯有一塊四邊形空地，如圖③，在四邊形ABCD中，AB=2 km,BC=4 km，∠BAD=90°,∠
10、BCD=90°,∠ABC=120°，張伯伯想過點(diǎn)C修一條路將四邊形ABCD的面積等分為相等的兩部分。這樣的路是否存在？若存在，求出路的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由。
11.【問題探究】
定義：若一條直線平分任意一個(gè)幾何圖形的面積，則稱這條直線為該幾何圖形的面積等分線。
（1）如圖①，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線；
①②③
第11題圖
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，過點(diǎn)A畫出四邊形ABCD的面積等分線，并寫出理由。
【探索應(yīng)用】
（3）小張有一塊正方形的土地如圖③，由于修
11、建高速公路被占去一塊三角形BCP區(qū)域?，F(xiàn)決定在DP右側(cè)補(bǔ)給小張一塊土地，補(bǔ)償后，土地變?yōu)樗倪呅蜛BMD，要求補(bǔ)償后的四邊形ABMD的面積與原來正方形ABCD的面積相等且點(diǎn)M在射線BP上，請(qǐng)你在圖中畫出點(diǎn)M的位置，并簡(jiǎn)要敘述其作法。
類型4 探究符合條件的點(diǎn)的問題
12.（xx·陜西中考）如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12。
（1）如圖①，M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為 。
（2）如圖②，N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)你求出△BNC周長(zhǎng)的最小值。
12、（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最?。咳舸嬖?，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
13.（xx·陜西中考）【問題探究】
（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)。
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)。當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQ
13、F=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)。
問題解決
（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB?，F(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m，問：在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說明理由。
參考答案
2022屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專項(xiàng)二 解答題專項(xiàng) 十一、幾何綜合探究題練習(xí)
