2022年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義（學(xué)生版）

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點是，，且． ②，焦點是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的； ⑷長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線

2、段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲

3、線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，然后運用兩點間的距離公式來求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標(biāo)分別為，則弦長公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有： ①從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)．要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當(dāng)時利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用

4、向量的坐標(biāo)運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題． 典例分析 【例1】 若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍是_______ 【例2】 過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于、兩點，若，則這樣的直線有_____條

5、

6、

7、 【例3】 過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜

8、率的取值范圍為______ 【例4】 直線與雙曲線相交于兩點、，則=_________． 【例5】 若直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍． 【例6】 若直線與雙曲線有且只有一個公共點，求的的值． 【例7】 若直線與雙曲線有兩個相異公共點，求的取值范圍． 【例8】 直線與雙曲線的一支有兩個相異公共點，求的取值范圍． 【例9】 若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點，求的取值范圍． 【例10】 若直線與雙曲線的右支有兩個相異公共點，求的取值范圍． 【例11】 已知不論取何實數(shù)，直線與雙曲線總有公共點，求實數(shù)的取值范圍．

9、 【例12】 直線與雙曲線交于、兩點．①當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點？ 【例13】 已知直線與雙曲線相交于兩個不同點、． ①求的取值范圍； ②若軸上的點到、兩點的距離相等，求的值． 【例14】 已知直線與雙曲線，記雙曲線的右頂點為，是否存在實數(shù)，使得直線與雙曲線的右支交于兩點，且，若存在，求出值：若不存在，請說明理由． 【例15】 已知點，，動點滿足條件，記動點的軌跡為． ⑴求的方程； ⑵若、是曲線上不同的兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值． 【例16】 直線與雙曲線的右支交不同的，兩點， ⑴求實數(shù)

10、取值范圍； ⑵是否存在實數(shù)，使得以線段直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點．若存在，求出值：若不存在，請說明理由． 【例17】 雙曲線的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點，問：當(dāng)為何值時，以為直徑的圓過原點． 【例18】 已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，過其右焦點且傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦的長為． ⑴求此雙曲線的方程； ⑵若直線與該雙曲線交于兩個不同點、，且以線段為直徑的圓過原點，求定點到直線的距離的最大值，并求此時直線的方程． ______________________________

11、_____________________________________________________________________________________________ / / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /○ 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 ○/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / / 密 封 線 內(nèi) 不

12、 要 答 題 【例19】 在中，已知、，動點滿足． ⑴求動點的軌跡方程； ⑵設(shè)點，，過點作直線垂直，且與直線交于點，試在軸上確定一點，使得； ⑶在⑵的條件下，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求的值． 【例20】 已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的取值范圍． 【例21】 已知雙曲線，設(shè)過點的直線的方向向量 ． ⑴當(dāng)直線與雙曲線的一條漸近線平行時，求直線的方程及與的距離； ⑵證明：當(dāng)>時，

13、在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為． 【例22】 已知雙曲線的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵如圖，是雙曲線上一點，，兩點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，，求面積的取值范圍． 【例23】 已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率． ⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程； ⑵如圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交與、兩點，求的面積． 【例24】 已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為，軌跡與軸的交點為． ⑴求軌跡的方程； ⑵設(shè)直線過點且與軌跡有兩個不同的交點，，求直線的斜率的取值范圍； ⑶在⑵的條件下，若，證明直線過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)． 【例25】 已知點為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點，為雙曲線的右焦點，過 作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接并延長交軸于． ⑴求線段的中點的軌跡的方程； ⑵設(shè)軌跡與軸交于、兩點，在上任取一點，直線，分別交軸于兩點．求證：以為直徑的圓過兩定點． （焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的準(zhǔn)線方程為） 【例26】 已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值．