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1、2022年高一數(shù)學 3.2等差數(shù)列(第二課時) 大綱人教版必修
●課 題
§3.2.2 等差數(shù)列(二)
●教學目標
(一)教學知識點
1.等差中項概念.
2.數(shù)學建模.
(二)能力訓練要求
1.明確等差中項的概念.
2.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導公式.
(三)德育滲透目標
1.培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.
2.提高學生的數(shù)學素質(zhì).
●教學重點
等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用.
●教學難點
靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.
●教學方法
講練相結(jié)合
結(jié)合典型例題,認真分析,講解,再結(jié)合典型習題進行鞏固性練習,從而提高分析問題、
2、解決問題的能力.
●教具準備
幻燈片兩張
第一張:記作§3.2.2 A
1.如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件?
2.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an ap+aq,(填“>”“=”“<”)
第二張:記作§3.2.2 B
[例1]梯子的最高一級寬33 cm,最低一級寬110 cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列,計算中間各級的寬度.
[例2]已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p、q是常數(shù),且p≠0,那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?如果是,其首項與公差是什么?
●教學過程
Ⅰ.復習回顧
[
3、師]上節(jié)課,咱們學習了有關(guān)等差數(shù)列的哪些內(nèi)容呢?
[生]1.等差數(shù)列定義:an-an-1=d(n≥2)
2.等差數(shù)列通項公式:an=a1+(n-1)d(n≥1)
推導公式:an=am+(n-m)d
Ⅱ.講授新課
[師]首先,請同學們來思考這樣一個問題.
(打出幻燈片§3.2.2 A)
問題1:如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件?
[生]由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得:A-a=b-A,即:a=.
[師]反之,若A=,則2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差數(shù)列.
總之,A=a,A,b成等差數(shù)列.
也就是說,A=是a
4、,A,b成等差數(shù)列的充要條件.
如果a、A、b成等差數(shù)列,那么a叫做a與b的等差中項.
不難發(fā)現(xiàn),在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項.
如數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,……中,3是1和5的等差中項,5是3和7的等差中項,7是5和9的等差中項等等.
進一步思考,同學們是否還發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?
比如:5不僅是3和7的等差中項,同時它也是1和9的等差中項,即不僅滿足5=,同時還滿足5=.
再如:7不僅是5和9的等差中項,同時它也是3和11的等差中項,還是1和13的等差中項,即7=.
看來,a2+a4=a1+a5=2a3,a4
5、+a6=a3+a7=2a5
依此類推,可得在一等差數(shù)列中,若m+n=p+q,,則am+an=ap+aq.
下面,我們來看一個實際問題.(打出幻燈片§3.2.2 B)
分析:首先要數(shù)學建模,即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,然后求其解,最后還要結(jié)合實際情況將其還原為實際問題的解.
解:用{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列,由已知條件,有a1=33,a12=110,n=12.
由通項公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,解得d=7.
因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a
6、10=96,a11=103.
答案:梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
評述:要注意將模型的解還原為實際問題的解.
[師]再來看例2.
[生]思考片刻.
[師]分析:由等差數(shù)列的定義,要判定{an}是不是等差數(shù)列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了.
解:取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2),
an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)=p
它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以{an}
7、是等差數(shù)列,且公差是p.
在通項公式令n=1,得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q,公差是p.看來,等差數(shù)列的通項公式可以表示為:an=pn+q(其中p、q是常數(shù))
當p=0時,它是一常數(shù)數(shù)列,從圖象上看,表示這個數(shù)列的各點均在y=q的圖象上.當p≠0時,它是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示這個數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上.
例如,首項是1,公差是2的無窮等差數(shù)列的通項公式為:an=2n-1,相應(yīng)的圖象是直
線y=2x-1上的均勻排開的無窮多個孤立點.如圖所示:
Ⅲ.課堂練習
課本P116練習3.
(師生討論)
8、3.已知一個無窮等差數(shù)列的首項為a1,公差為d:
(1)將數(shù)列中的前m項去掉,其余各項組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是多少?
解:設(shè)一無窮等差數(shù)列為a1,a2,…,am,am+1,…,an,…
若去掉前m項,則新數(shù)列為:am+1,…,an,…,即首項為am+1,公差為d的等差數(shù)列.
(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項,組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是多少?
解:若設(shè)一無窮等差數(shù)列為a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…,則取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項,組成的新數(shù)列為a1,a3,a5,…,a2m-1,…
即首項為a1,公
9、差為2d的等差數(shù)列.
(3)取出數(shù)列中的所有項數(shù)為7的倍數(shù)的各項,組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差各是多少?
設(shè)一無窮等差數(shù)列為a1,a2,a3,…,an,…,則新數(shù)列為a7,a14,a21,…,a7m,…,即首項為a7,公差為7d的等差數(shù)列.
課本P116練習4,5.
[生]4.(1)100與180的等差中項為140,(2)-2與6的等差中項為2.
5.(1)由an=3n+6得a1=9,d=an-an-1=3n+6-3(n-1)-6=3,(2)由an=-2n+7,得a1=5,d=-2
Ⅳ.課時小結(jié)
通過本節(jié)學習,首先,需掌握等差中項概念及A=與a,A,b成等差數(shù)列的關(guān)系,另外,還應(yīng)注意等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)課本P117習題3.2,8,9
(二)1.預(yù)習內(nèi)容:課本P117~P118
2.預(yù)習提綱:
(1)等差數(shù)列的前n項和公式
(2)等差數(shù)列前n項和的簡單應(yīng)用.
●板書設(shè)計
§3.2.2 等差數(shù)列(二)
一、等差中項的概念
A=a,A,b成等差數(shù)列
二、若m+n=p+q,則am+an=ap+aq
三、例題講解復習回顧
例1
例2
課時小結(jié)