2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 概率與統(tǒng)計 第一講 排列與組合、二項式定理學案 理

第一講排列與組合、二項式定理考點一兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘對點訓練1已知I1,2,3，A，B是集合I的兩個非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，則集合A，B共有()A12對 B15對 C18對 D20對解析依題意，當A，B均有一個元素時，有3對；當B有一個元素，A有兩個元素時，有CC28對；當B有一個元素，A有三個元素時，有3對；當B有兩個元素，A有三個元素時，有3對；當A，B均有兩個元素時，有3對所以共有3833320對，選D.答案D2(2018·河北唐山二模)用兩個1，一個2，一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是()A18 B16 C12 D9解析根據(jù)題意，分3步進行分析：0不能放在千位，可以放在百位、十位和個位，有3種情況，在剩下的3個數(shù)位中任選1個，安排2，有3種情況，在最后2個數(shù)位安排2個1，有1種情況，則可組成3×39個不同的四位數(shù)，故選D.答案D3.現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A120 B140C240 D260解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×43×3)260(種)，故選D.答案D快速審題看到計數(shù)問題，想到分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理兩個計數(shù)原理的應用技巧(1)在應用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類計數(shù)原理(2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化考點二排列、組合排列與組合的異同點對點訓練1馬路上有七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案共有()A60種 B20種 C10種 D8種解析根據(jù)題意，可分兩步完成：第一步，先安排四盞不亮的路燈，只有1種情況；第二步，四盞不亮的路燈排好后，有5個空位，在5個空位中任意選3個，插入三盞亮的路燈，有C10(種)情況故不同的開燈方案共有1×1010(種)，故選C.答案C2(2018·山西四校聯(lián)考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72 B120 C144 D168解析依題意，先僅考慮3個歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA144，其中3個歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為AAA24，因此滿足題意的排法種數(shù)為14424120，選B.答案B探究追問(1)若第2題中，“同類節(jié)目不相鄰”改為“同類節(jié)目必須相鄰”，則有多少種不同的排法？(2)若第2題中，“同類節(jié)目不相鄰”改為“相聲類節(jié)目不排第一個，小品類節(jié)目不排最后一個，則有多少種不同的排法？”解析(1)(捆綁法)將歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目分別各自作一個節(jié)目與相聲類節(jié)目排列，共有A種不同排法又歌舞類節(jié)目有A種排法，小品類節(jié)目有A種排法，所以共有A×A×A72(種)不同排法(2)分兩類：第一類，若第一個節(jié)目排歌舞類，由于最后一個不排小品類節(jié)目，有A·AA216(種)排法；第二類，若第一個節(jié)目排小品類節(jié)目，則有A·A·A192(種)排法故共有216192408(種)不同的排法答案(1)72種(2)408種3(2018·全國卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)解析解法一：從2位女生，4位男生中選3人，且至少有1位女生入選的情況有以下2種：2女1男：有CC4種選法；1女2男：有CC12種選法，故至少有1位女生入選的選法有41216種解法二：從2位女生，4位男生中選3人有C20種選法，其中選出的3人都是男生的選法有C4種，所以至少有1位女生入選的選法有20416種答案164(2018·北京西城一模)某種產品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成(不一定相鄰)，其他工藝的順序可以改變，但不能同時進行，為了節(jié)省加工時間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產品的不同工藝的排列順序有_種(用數(shù)字作答)解析B與C必須相鄰，看作一個元素，與剩下三個元素全排列共有A種排法，而B與C的順序有A種排法，又A必須在D的前面完成，所以完成加工該產品的不同工藝的排列順序有24(種)答案24快速審題(1)看到“在”與“不在”的排列問題，想到特殊優(yōu)先原則(2)看到相鄰問題，想到捆綁法；看到不相鄰問題，想到插空法(3)看到“至少”“最多”的問題，想到用直接法或間接法解排列組合綜合問題的4個角度考點三二項式定理1通項與二項式系數(shù)Tk1Cankbk(k0,1,2，n)，其中C叫做二項式系數(shù)2二項式系數(shù)的性質(1)CC，CC，CC；(2)CCCC2n；(3)CCCCCC2n1.對點訓練1(2018·山東棗莊二模)若(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A. B. C1 D2解析10展開式的通項公式為Tr1C·x10r·rC·x102r，令102r4，解得r3，所以x4項的系數(shù)為C；令102r6，解得r2，所以x6項的系數(shù)為C，所以(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為CaC30，解得a2.故選D.答案D2(2018·河北邯鄲二模)在n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為()A15 B45 C135 D405解析 答案C3(2018·福建漳州二模)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，則a2a3a9a10的值為()A20 B0 C1 D20解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C×21×(1)920，所以a2a3a9a1020.答案D4(2018·浙江卷)二項式8的展開式的常數(shù)項是_解析 答案7快速審題(1)看到展開式中求二項式系數(shù)或項的系數(shù)，想到二項展開式的通項(2)看到二項式的系數(shù)和問題，想到用賦值法利用二項式定理求解的3種常用思路(1)二項式定理中最關鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的(2)二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值(3)二項展開式的最大項是通過不等式組確定的1(2017·全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種 B18種 C24種 D36種解析第一步：將4項工作分成3組，共有C種分法第二步：將3組工作分配給3名志愿者，共有A種分配方法，故共有C·A36種安排方式，故選D.答案D2(2018·全國卷)5的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20 C40 D80解析5的展開式的通項Tr1C(x2)5r·(2x1)r2rC·x103r，令103r4，得r2，所以x4的系數(shù)為22×C40.故選C.答案C3(2017·全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40 C40 D80解析(2xy)5的展開式的通項為Tr1C·(2x)5r·(y)r(1)r·25rC·x5ryr.其中x2y3項的系數(shù)為(1)3·22·C40，x3y2項的系數(shù)為(1)2·23·C80.于是(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為408040.答案C4(2018·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成_個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)解析含有數(shù)字0的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有CCAA540個，不含有數(shù)字0的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有CCA720個，故一共可以組成5407201260個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)答案12605(2017·天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答)解析有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有CCA960個沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A120個故這樣的四位數(shù)一共有9601201080個答案10801.排列、組合在高中數(shù)學中占有特殊的位置，是高考的必考內容，很少單獨命題，主要考查利用排列、組合知識計算古典概型2二項式定理仍以求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主，題目難度一般，多出現(xiàn)在第910或第1315題的位置上熱點課題17分類討論思想在排列組合中的應用感悟體驗1(2018·濟南二模)某校開設5門不同的數(shù)學選修課，每位同學可以從中任選1門或2門課學習，甲、乙、丙三位同學選擇的課沒有一門是相同的，則不同的選法共有()A330種 B420種C510種 D600種解析當甲、乙、丙三位同學都只選1門，不同的選法有A60(種)；當甲、乙、丙三位同學有一位選1門，另外兩位選2門，不同的選法有CCCC90(種)；當甲、乙、丙三位同學有兩位選1門，另一位選2門，不同的選法有CCCC180(種)，共有6090180330(種)答案A2現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張不同取法的種數(shù)為()A232 B252 C472 D484解析由題意，不考慮特殊情況，共有C種取法，其中同一種顏色的卡片取3張，有4C種取法，3張卡片中紅色卡片取2張有C·C種取法，故所求的取法共有C4CC·C5601672472種，選C.答案C專題跟蹤訓練(二十八)一、選擇題1(2018·惠州市二調)旅游體驗師小李受某網站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A24 B18 C16 D10解析分兩種情況，第一種：若最后去甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：若不在最后去甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線所以小李可選的旅游路線數(shù)為AC·A10.故選D.答案D2(2018·開封市定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科學生甲要想報考某高校的法學專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數(shù)為()A6 B12 C18 D19解析解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種，所以學生甲的選考方法共有99119(種)，故選D.解法二：從六科中選考三科的選法只有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法只有1種，因此學生甲的選考方法共有C119(種)，故選D.答案D3(2018·廣西貴港市聯(lián)考)在6的展開式中，常數(shù)項為()A240 B60 C60 D240解析6的展開式中，通項公式為Tr1C(x2)6rr(2)rCx123r，令123r0，得r4，故常數(shù)項為T5(2)4C240，故選D.答案D4(2018·長郡中學實驗班選拔考試)若二項式7的展開式中的各項系數(shù)之和為1，則含x2的項的系數(shù)為()A560 B560 C280 D280解析取x1，得二項式7的展開式中的各項系數(shù)之和為(1a)7，即(1a)71，解得a2.二項式7的展開式的通項為Tr1C·(x2)7r·rC·(2)r·x143r.令143r2，得r4.因此，二項式7的展開式中含x2項的系數(shù)為C·(2)4560，故選A.答案A5將5位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、中山大學這3所大學就讀，每所大學至少保送1人，則不同的保送方法共有()A150種 B180種 C240種 D540種解析先將5人分成三組，3,1,1或2,2,1，共有CC×25(種)分法；再將三組學生分到3所學校有A6(種)分法，故共有25×6150(種)不同的保送方法故選A.答案A6(2018·廣州一模)(x1)6的展開式的常數(shù)項為()A54 B56 C58 D60解析(x1)6的展開式的常數(shù)項就是6的展開式的常數(shù)項與x1項的系數(shù)之和.6的展開式的通項Tr1C(2x2)6rr(1)r·26rCx123r，令123r0得r4，所以常數(shù)項是(1)4×22×C60，令123r1得r，不符合題意，所以6的展開式的x1項是不存在的，故選D.答案D7(2018·廣東肇慶三模)(x2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項是()A68y7 B112x3y4C672x2y5 D1344x2y5解析設第r1項的系數(shù)最大，又rZ，r5.系數(shù)最大的項為T6Cx2·25y5672x2y5.故選C.答案C8(2018·衡水一模)已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A24 B28 C36 D48解析按紅紅之間有藍、無藍這兩類來分情況研究(1)當紅紅之間有藍時，則有AA24種情況；(2)當紅紅之間無藍時，則有CACC24種情況因此這五個人排成一行，穿相同顏色衣服的人不能相鄰，共有242448種排法故選D.答案D9(2018·廣東珠海模擬)將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同放法共有()A480種 B360種 C240種 D120種解析根據(jù)題意，將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則必須有2個小球放入1個盒子，其余的小球各單獨放入一個盒子，分2步進行分析：先將5個小球分成4組，有C10種分法；將分好的4組全排列，放入4個盒子，有A24種情況，則不同放法有10×24240種故選C.答案C10(2018·甘肅二診)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A18種 B24種 C36種 D48種解析若甲、乙搶到的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)；若甲、乙搶到的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)；若甲、乙搶到的是一個8元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC6(種)；若甲、乙搶到的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A6(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C.答案C11.(2018·合肥市三模)某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖所示社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為()A96 B114 C168 D240解析首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有4×3×1×3×24×3×2×2×2168(種)，故選C.答案C12(2018·鄭州市第二次質量預測)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為()A72 B120 C192 D240解析若將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應為偶數(shù)，若末位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以偶數(shù)有60(個)；若末位數(shù)字為6，同理偶數(shù)有60(個)；若末位數(shù)字為4，因為有兩個相同數(shù)字4，所以偶數(shù)有5×4×3×2×1120(個)綜上可知，不同的偶數(shù)共有6060120240(個)答案D二、填空題13(2018·海南省五校二模)從數(shù)字0,1,2,3,4中任意取出3個不重復的數(shù)字組成三位數(shù)，則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有_個解析若取出的3個數(shù)字中包含0，則由數(shù)字0,1,2或0,2,4組成的三位數(shù)滿足題意，共組成8個三位數(shù)；若取出的3個數(shù)字中不包含0，則由數(shù)字1,2,3或2,3,4組成的三位數(shù)滿足題意，組成的三位數(shù)共有2A12(個)綜上可知，共有20個三位數(shù)滿足題意答案2014(2018·東北三省四市二模)現(xiàn)將5張連號的電影票分給甲、乙等5個人，每人一張，若甲、乙分得的電影票連號，則共有_種不同的分法(用數(shù)字作答)解析電影票號碼相鄰只有4種情況，則甲、乙2人在這4種情況中選一種，共C種選法，將2張連號的票分給甲、乙，共有A種分法；其余3張票分給其他3個人，共有A種分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有CAA48(種)分法答案4815(2018·湖北黃岡期末)設(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018，若a12a23a32018a20182018a(a0)，則實數(shù)a_.解析已知(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018，兩邊同時對x求導，得2018(1ax)2017(a)a12a2x3a3x22018a2018x2017，令x1得，2018a(1a)2017a12a23a32018a20182018a，又a0，所以(1a)20171，即1a1，故a2.答案216設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動，質點落在點(3,0)(允許重復過此點)處，則質點不同的運動方法共有_種(用數(shù)字作答)解析解法一：在x軸上，標出A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(1,0)，依題意知，跳動4次后，只有在B點或D點可跳到C點，畫出樹狀圖，可得結果為5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二：將向右跳一次記為1，向左跳一次記為1，需要其和為3，那么應為4個1,1個1，質點不同的運動方法共有C5種答案514