2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 推理與證明 2 數(shù)學證明學案 北師大版選修1-2

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1、§2　數(shù)學證明 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.理解演繹推理的概念．(重點) 2．掌握演繹推理的基本模式，并能用它們進行一些簡單的推理．(重點) 3．能用“三段論”證明簡單的數(shù)學問題．(難點) 通過對演繹推理的理解及應用，提升學生的數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng). 1．證明 (1)證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理． (2)證明的方法：演繹推理． 2．演繹推理的主要形式 演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下： (1)大前提：提供了一個一般性道理． (2)小前提：研究對象的特殊情況． (3)結(jié)論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷． [特別

2、提醒]　運用三段論推理時，常可省略大前提或小前提，對于復雜的證明，也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提． 1．下面幾種推理中是演繹推理的為(　　) A．由金、銀、銅、鐵可導電，猜想：金屬都可導電 B．猜想數(shù)列，，，…的通項公式為an＝(n∈N＋) C．半徑為r的圓的面積S＝πr2，則單位圓的面積S＝π D．由平面直角坐標系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測空間直角坐標系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 C　[A，B為歸納推理，D為類比推理，C為演繹推理．] 2．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁

3、內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班級中的人數(shù)都超過50人 C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通過計算a2，a3，a4猜想出an的通項公式 A　[A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理．] 3．函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為： 大前提：_____________________________________________； 小前提：____________________

4、_________________________； 結(jié)論：_______________________________________________. [答案]　一次函數(shù)的圖像是一條直線 函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù) 函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線 把演繹推理寫成三段論的形式 【例1】　將下列演繹推理寫成三段論的形式． (1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)； (2)三角形的內(nèi)角和為180°，Rt△ABC的內(nèi)角和為180°； (3)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 思路點撥：三段論推理是演繹推理的主要模式，推

5、理形式為“如果b?c，a?b，則a?c.”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個特殊情況；a?c為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果． [解]　(1)一切奇數(shù)都不能被2整除．(大前提) 75不能被2整除．(小前提) 75是奇數(shù)．(結(jié)論) (2)三角形的內(nèi)角和為180°.(大前提) Rt△ABC是三角形．(小前提) Rt△ABC的內(nèi)角和為180°.(結(jié)論) (3)數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為同一常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列．(大前提) 通項公式an＝3n＋2，n≥2時， an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數(shù))

6、．(小前提) 通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(結(jié)論) 把演繹推理寫成“三段論”的一般方法 1．用“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系． 2．在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 1．將下列演繹推理寫成三段論的形式． (1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分； (2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B. [解

7、]　(1)平行四邊形的對角線互相平分，(大前提) 菱形是平行四邊形，(小前提) 菱形的對角線互相平分．(結(jié)論) (2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提) ∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，(小前提) ∠A＝∠B.(結(jié)論) 演繹推理在幾何中的應用 【例2】　如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理． 思路點撥：用三段論的模式依次證明：(1)DF∥AE，(2)四邊形AEDF為平行四邊形，(3)DE＝AF. [解]　(1)同位角相等，兩直線平行，(大前提) ∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝

8、∠A，(小前提) 所以DF∥AE.(結(jié)論) (2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提) DE∥BA且DF∥EA，(小前提) 所以四邊形AEDF為平行四邊形．(結(jié)論) (3)平行四邊形的對邊相等，(大前提) DE和AF為平行四邊形AEDF的對邊，(小前提) 所以DE＝AF.(結(jié)論) “三段論”證題的步驟及一般原理 1．用“三段論”證明命題的步驟 (1)理清楚證明命題的一般思路； (2)找出每一個結(jié)論得出的原因； (3)把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來． 2．幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特

9、殊情況，就能得出相應結(jié)論． 2．證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角． [解]　已知在梯形ABCD中(如圖所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對角線，求證：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA. 證明：①等腰三角形的兩底角相等，(大前提) △DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提) ∠1＝∠2.(結(jié)論) ②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行線AD，BC被AC 所截的內(nèi)錯角，(小前提) ∠1＝∠3.(結(jié)論) ③等于同一個量的兩個量相等，(大前提) ∠2，∠3都等于∠1，(小前提) ∠2和∠3相等

10、．(結(jié)論) 即CA平分∠BCD. ④同理BD平分∠CBA. 演繹推理在代數(shù)中的應用 [探究問題] 1．演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？ [提示]　演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確． 2．因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)是增函數(shù)，而y＝logx是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logx是增函數(shù)． 上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？ [提示]　推理形式正確，結(jié)論不正確．因為大前提是錯誤的． 【例3】　已知a，b，m均為正實數(shù)，b

11、個正數(shù)，不等號不改變方向，(大前提) b0，(小前提) 所以mb0，(小前提) 所以<，即<.(結(jié)論) 代數(shù)問題中常見的利用三段論證明的命題 1．函數(shù)問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等． 2．導數(shù)的應用：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等． 3

12、．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 4．數(shù)列的通項公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)． 5．不等式的證明． 3．當a，b為正實數(shù)時，求證：≥. [解]　因為一個實數(shù)的平方是非負實數(shù)，(大前提) 而－＝2是一個實數(shù)的平方，(小前提) 所以－是非負實數(shù)，即－≥0. 所以≥.(結(jié)論) 1．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結(jié)論完全蘊涵于前提之中．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具． 2．“三段論”的常用格式可以解釋為 大前提：M是P；(解

13、釋為M中的元素都具有P性質(zhì)) 小前提：S是M；(解釋為S中的元素都是M中的元素) 結(jié)論：S是P.(解釋為S中的元素都具有P性質(zhì)) 3．三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個命題——結(jié)論． 三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確． 1．判斷正誤 (1)“三段論”就是演繹推理．(　　) (2)演繹推理的結(jié)論是一定正確的．(　　) (3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．用

14、三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0”，你認為這個推理(　　) A．大前提錯誤　 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．是正確的 A　[這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結(jié)論是“a2>0”．顯然結(jié)論錯誤，原因是大前提錯誤．] 3．如圖所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB＝CD，BC＝AD. 又因為△ABC和△CDA的三邊對應相等，所以△ABC≌△CDA. 上述推理的兩個步驟中分別省略了 ________、________. [答案]　大前提　大前提 4．用三段論的形式寫出下列演繹推理． (1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等； (2)0.是有理數(shù)． [解]　(1)因為矩形的對角線相等，(大前提) 而正方形是矩形，(小前提) 所以正方形的對角線相等．(結(jié)論) (2)所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，(大前提) 0.是循環(huán)小數(shù)，(小前提) 所以，0.是有理數(shù)．(結(jié)論) - 7 -