2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 4數(shù)列與不等式教學(xué)案 理

4. 數(shù)列與不等式要點(diǎn)重溫·1等差數(shù)列及其性質(zhì)(1)an等差數(shù)列an1and(d為常數(shù))或an1ananan1 (n2) 2anan1an1(n2，nN*)ananbSnAn2Bn.(2)等差數(shù)列的性質(zhì)anam(nm)d；當(dāng)mnpq時(shí)，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有aman2ap.Snna1dn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列應(yīng)用1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1012，S2017，則S30為()A15B20C25D30答案A2等比數(shù)列及其性質(zhì)(1)an等比數(shù)列 q(q為常數(shù)，q0)(a10)ana1·qn1.應(yīng)用2x是a、x、b成等比數(shù)列的()【導(dǎo)學(xué)號：07804176】A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析若xa0，x成立，但a、x、b不成等比數(shù)列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比數(shù)列，則x2abx±，所以x不一定成立，必要性不成立所以選D.答案D(2)等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)mnpq時(shí)，則有am·anap·aq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有am·ana.應(yīng)用3(1)在等比數(shù)列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10_.(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5·a69，則log3a1log3a2log3a10_.答案(1)512(2)10(3)求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對q分q1和q1兩種情形討論求解應(yīng)用4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列的公比q是_解析當(dāng)q1時(shí)，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立當(dāng)q1時(shí)，由S3S6S9得q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或13求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型及方法(1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法應(yīng)用5如圖10(1)，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖10(2)，如此繼續(xù)下去，得圖10(3)，試探求第n個(gè)圖形的邊長an和周長Cn.圖10(1)圖10(2)圖10(3)答案an，Cn×(3×4n1)(2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項(xiàng)公式(3)疊加法(迭加法)：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；疊乘法(迭乘法)：···.應(yīng)用6已知a11，an12nan，求an.答案an2(4)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an求an.應(yīng)用7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n1，則an_.解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13.n2時(shí)，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.所以an.答案(5)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式應(yīng)用8已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.解析令x2，y2n1，則f(xy)f(2n)2f(2n1)2n1f(2)，即an2an12n，1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得1(n1)×1n，即ann·2n.答案n·2n4數(shù)列求和的方法(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯(cuò)位相減法；(5)裂項(xiàng)法如：；.應(yīng)用9求和：Sn12x3x2nxn1.答案Sn (6)并項(xiàng)法數(shù)列求和時(shí)要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法應(yīng)用10數(shù)列an滿足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S21的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804177】答案5研究數(shù)列an的單調(diào)性的方法：(1)an1an ，如an2n4n5；(2) ，an；(3)anf(n)增減性，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的增減性，如an.應(yīng)用11若an，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)答案a3 6兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必須注意同向同正時(shí)才能相乘，同時(shí)要注意“同號可倒”，即a>b>0<；a<b<0>.應(yīng)用12若實(shí)數(shù)a，bR且a>b，則下列不等式恒成立的是()Aa2>b2B>1C2a>2bDlg(ab)>0解析根據(jù)函數(shù)的圖象(圖略)與不等式可知：當(dāng)a>b時(shí)，2a>2b，故選C.答案C7用基本不等式“ (a，b>0)”求最值(或值域)時(shí)，要注意到條件“一正、二定、三相等”；在解答題，遇到利用基本不等式求最值的問題，要交待清楚取等號的條件常用技巧：(1)對不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊(2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元(3)當(dāng)題中等號條件不成立，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值應(yīng)用13(1)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62B72C64D74解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號答案D(2)已知0x1y，則logxylogyx的值域是_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804178】答案(，2 (3)函數(shù)f(x)的值域是_答案 8求解線性規(guī)劃問題時(shí)，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(2,2)連線的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方等同時(shí)解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)應(yīng)用14若實(shí)數(shù)x，y滿足，且x2y2的最大值等于34，則正實(shí)數(shù)a的值等于()ABCD3解析做出可行域，如圖所示，x2y2表示點(diǎn)(x，y)與(0,0)距離的平方，由圖知，可行域中的點(diǎn)B離(0,0)最遠(yuǎn)，故x2y2的最大值為3234a，故選B.答案B9解答不等式恒成立問題的常用方法(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此法(2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握圖形應(yīng)用15如果kx22kx(k2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804179】A1k0B1k<0C1<k0D1<k<0解析當(dāng)k0時(shí)，原不等式等價(jià)于2<0，顯然恒成立，所以k0符合題意當(dāng)k0時(shí)，由題意得，解得1<k<0.所以1<k0.答案C10不等式有解問題：af(x)有解 af(x)min；af(x)有解 af(x)max.應(yīng)用16已知函數(shù)f(x) ，其中aR，若對任意非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一實(shí)數(shù)x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為()A8B6C6D8解析由數(shù)形結(jié)合討論知f(x)在(，0)遞減，在(0，)遞增， ，令g(a)，則g(a)1(0a<1)且g(a)(0a<1)，g(a)在上遞減，在上遞增，即kming8.答案D查缺補(bǔ)漏·1已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.>Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin yDx3>y3D因?yàn)?<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時(shí)，<1，A不成立B中，當(dāng)x0，y1時(shí)，ln 1<ln 2，B不成立C中，當(dāng)x0，y時(shí)，sin xsin y0，C不成立D中，因?yàn)楹瘮?shù)yx3在R上是增函數(shù)，故選D2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1BC DB由題可知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an12an，于是有，an，故Sna1a2an1.3已知x，y滿足約束條件 ，若z2xy的最小值為1，則實(shí)數(shù)a的值是() 【導(dǎo)學(xué)號：07804180】A4BC1D2D做出可行域及直線2xy0，如圖所示平移直線2xy0，當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z2xy取得最小值；解 得 ；因?yàn)閦2xy的最小值為1，所以zmin2×11，a2，故選D.4在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am1·am12am (m2)，數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m1512，則m的值為()A4B5C6D7B因?yàn)閍n是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以am1·am12ama，am2，又T2m1a1a2a2m1a，所以22m151229，m5.5在等差數(shù)列an中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0C由題意可知a6a5>0，故S10>0，而S99a5<0，故選C.6數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為() 【導(dǎo)學(xué)號：07804181】A3 690B3 660C1 845D1 830D當(dāng)n2k時(shí)，a2k1a2k4k1；當(dāng)n2k1時(shí)，a2ka2k14k3.所以a2k1a2k12，所以a2k1a2k32，所以a2k1a2k3，所以a1a5a61.所以a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2×601)30×611 830.7已知a，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是()AB2(1)C21D2(1)B1112(1)8已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，對任意x0，)，均滿足：xf(x)>2f(x)若g(x)x2f(x)，則不等式g(2x)<g(1x)的解集是()A(，1)BCD(，1)Cx0，)時(shí)g(x)2xf(x)x2f(x)x(2f(x)xf(x)>0，而g(x)x2f(x)也為偶函數(shù)，所以g(2x)<g(1x)g(|2x|)<g(|1x|)|2x|<|1x|3x22x1<01<x<.9若關(guān)于x的不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(，04x2x1a0在1,2上恒成立，4x2x1a在1,2上恒成立令y4x2x1(2x)22×2x11(2x1)21.1x2，22x4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)2x2，即x1時(shí)，y有最小值0.a的取值范圍為(，010已知函數(shù)f(x)為定義在2a,3上的偶函數(shù)，在0,3上單調(diào)遞減，并且f>f(m22m2)，則m的取值范圍是_1m<由題設(shè)可得2a30，即a5，故f(m21)>f(m22m2)可化為f(m21)>f(m22m2)，又1m213,1m22m23，故m21<m22m2m<，且m1.11已知當(dāng)1a1時(shí)，x2(a4)x42a>0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_(，1)(3，)設(shè)f(a)(x2)a(x24x4)，則f(a)>0對a1,1成立等價(jià)于 ，即 ，解之得x<1或x>3，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(，1)(3，)12已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，則b的取值范圍為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804182】(2，2)由指數(shù)函數(shù)圖象可得f(a)1，所以g(b)1，即b24b31，解得2b2.13設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為6，則的最小值為_根據(jù)題意，畫出可行域(圖略)將zaxby變形為：yx(a>0，b>0)進(jìn)行平移，當(dāng) ，即 時(shí)，zaxby(a>0，b>0)取最大值6，所以4a6b6(a>0，b>0)，所以(4a6b)(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”)，所以最小值為.14已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a34，an的前3項(xiàng)和為7.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：2.解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知得q>0，且數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1b11，且a11，解得b11.當(dāng)n2時(shí)，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)·2n1.an2n1，當(dāng)n2時(shí)，bn2n1.b112×11滿足bn2n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n1(nN*)數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列Snn2.當(dāng)n1時(shí)，12.當(dāng)n2時(shí)，<.22.15已知數(shù)列an滿足：a1，a2，2anan1an1(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足：b1<0,3bnbn1n(n2，nN*)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證：數(shù)列bnan為等比數(shù)列；(2)求證：數(shù)列bn為遞增數(shù)列；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)，Sn取得最小值，求b1的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：07804183】解(1)證明：2anan1an1(n2，nN*)an是等差數(shù)列又a1，a2，an(n1)·，bnbn1(n2，nN*)bn1an1bnbn(bnan)又b1a1b10，bnan是b1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列(2)證明：bnan·，an.bn·.當(dāng)n2時(shí)，bnbn1.又b1<0，bnbn1>0.bn是單調(diào)遞增數(shù)列(3)當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)，Sn取最小值，即，b1(47，11)11