2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 計數(shù)原理與概率 第62講 離散型隨機變量的均值與方差學案

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1、 第62講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題. 2.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 2017·全國卷Ⅰ,19 2016·山東卷,19 2016·福建卷,16 1.正態(tài)分布主要通過正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象及性質進行考查. 2.離散型隨機變量的分布列、均值、方差一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及幾何分布相結合,以實際問題為背景進行考查. 分值:5~12分 1.離散型隨機變

2、量的均值與方差 一般地,若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱E(X)=__x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn__為隨機變量X的均值或__數(shù)學期望__,它反映了離散型隨機變量取值的__平均水平__. (2)方差 稱D(X)=__(xi-E(X))2pi__為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的__平均偏離程度__,其算術平方根為隨機變量X的__標準差__. 2.均值與方差的性質 (1)E(aX+b)=__aE(X)+b__(a,b為常數(shù)). (

3、2)D(aX+b)=__a2D(X)__(a,b為常數(shù)). 3.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=__p__,D(X)=__p(1-p)__. (2)若X~B(n,p),則E(X)=__np__,D(X)=__np(1-p)__. 4.正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線:函數(shù)φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0,μ∈R).我們稱函數(shù)φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線. (2)正態(tài)曲線的性質 ①曲線位于x軸__上方__,與x軸不相交; ②曲線是單峰的,它關于直線__x=μ__對稱; ③曲線在__x=μ_

4、_處達到峰值; ④曲線與x軸之間的面積為__1__; ⑤當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著__μ__的變化沿x軸平移,如圖甲所示; ⑥當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ__越小__,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ__越大__,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示. (3)正態(tài)分布的定義及表示 一般地,如果對于任何實數(shù)a,b(a

5、 ②P(μ-2σ

6、ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)=8.9,則y的值為( A ) A.0.4   B.0.6   C.0.7   D.0.9 解析 ∵∴ 3.設樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為( A ) A.1+a,4   B.1+a,4+a C.1,4   D.1,4+a 解析 ∵x1,x2,…,x10的均值與方差分別為1和4. ∴i=10,(xi-1)2=40, ∴i=(xi+a)=i+10a=10+10a.

7、∴y1,y2,…,y10的均值為1+a. 又(yi-1-a)2=(xi-1)2=40, ∴y1,y2,…,y10的方差為4. 4.隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=____. 解析 設P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=y(tǒng),則+x+y=1,① E(ξ)=0×+x+2y=1,② 由①②可知x=,y=, ∴D(ξ)=(1-0)2+(1-1)2+(1-2)2=. 5.投擲兩枚骰子,當至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為____. 解析 在投擲兩枚骰子中,不含5或6的次數(shù)為4×4,故試驗成功的概率P=1-

8、==,則在10次試驗中成功次數(shù)的均值E(ξ)=10×=. 一 離散型隨機變量的均值、方差 離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略 (1)求離散型隨機變量的均值與方差.可依題設條件求出離散型隨機變量的概率分布列,然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程,解方程即可求出參數(shù)值. (3)由已知條件,作出對兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義,對實際問題作出判斷. 【例1】 (2018·湖北部分重點中學起點考試)隨著網(wǎng)絡營銷和電子商務的興起,人們的購物方式更具多樣化.某調查機構隨機抽取10名購物者

9、進行采訪,5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購,2名傾向于選擇實體店,5名女性購物者有2名傾向于選擇網(wǎng)購,3名傾向于選擇實體店. (1)若從10名購物者中隨機抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名傾向于選擇實體店的概率; (2)若從這10名購物者中隨機抽取3名,設X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望. 解析 (1)設“隨機抽取2名,其中男、女各一名,至少1名傾向于選擇實體店”為事件A,則表示事件“隨機抽取2名(其中男、女各一名)都傾向于選擇網(wǎng)購”, 則P(A)=1-P()=1-=. (2)X所有可能的取值為0,1,2,3,且P(X=k)=, 則P(X=

10、0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 【例2】 (2018·安徽蕪湖一模)設袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分. (1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列; (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數(shù).若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c. 解析

11、 (1)由題意得ξ=2,3,4,5,6. 故P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, P(ξ=4)==,P(ξ=5)==, P(ξ=6)==.所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)=++=, D(η)=2·+2·+2·=. 化簡得解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1. 二 均值與方差的實際應用 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依

12、據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定. 【例3】 (2018·山西太原模擬)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立. (1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率; (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系. 年入流量X 40

13、120 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺? 解析 (1)依題意,得p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1. 由二項分布,在未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率為p=C(1-p3)4+C(1-p3)3p3=4+4×3×=0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元). ①安裝1臺發(fā)電機的情形. 由于水

14、庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形. 依題意,當40<X<80時,一臺發(fā)電機運行, 此時Y=5 000-800=4 200, 因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當X≥80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5 000×2=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下: Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③

15、安裝3臺發(fā)電機的情形. 依題意,當40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當80≤X≤120時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5 000×2-800=9 200, 因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當X>120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下: Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以E(Y)=3 400×0.2

16、+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620. 綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機2臺. 三 正態(tài)分布的應用 解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點:(1)對稱軸x=μ;(2)標準差σ;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉化,使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有標準正態(tài)分布的對稱軸才為x=0. 【例4】 (2017·全國卷Ⅰ改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服

17、從正態(tài)分布N(μ,σ2). (1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望; (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查. ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性; ②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 1

18、0.05 9.95 經(jīng)計算得=i=9.97,s==≈0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16. 用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查? 附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ

19、=1-0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學期望為E(X)=16×0.002 6=0.041 6. (2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. ②由=9.97,s≈0.212,得μ的估計值為=9.97,σ的估計值為=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(-3,+3)之

20、外,因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查. 1.在某次大型考試中,某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)已知該班同學中成績在80~85分的有17人.試計算該班成績在90分以上的同學有多少人. 附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%. 解析 ∵成績服從正態(tài)分布N(80,52), ∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85. 于是成績在(75,85]內(nèi)的同學占全班同學的68.26%. 由正態(tài)曲線的對稱性知,成績在(80,85]內(nèi)的同學占全班同學的×68.26%=34.13%. 設該班同

21、學共有x人,則x×34.13%=17,解得x≈50. 又∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,∴成績在(70,90]內(nèi)的同學占全班同學的95.44%. ∴成績在(80,90]內(nèi)的同學占全班同學的47.72%. ∴成績在90分以上的同學占全班同學的50%-47.72%=2.28%. 即有50×2.28%≈1(人),故成績在90分以上的同學僅有1人. 2.乒乓球臺面被球網(wǎng)分割成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C,D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落在C上記3分,在D上記1分,其它情況記0分.

22、對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為.假設共有兩次來球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求: (1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率; (2)兩次回球結束后,小明的得分之和ξ的分布列與均值. 解析 (1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=. 記Bj為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為j分”(j=0,1,3), 則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=

23、. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上”. 由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的獨立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) =×+×+×+×=, 所以小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率為. (2)由題意,隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6, 由事件的獨立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=× =, P(ξ=1)=

24、P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1) =×+×=, P(ξ=2)=P(A1B1)=×=, P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3) =×+×=, P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3) =P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=, P(ξ=6)=P(A3B3)=×=. 可得隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 6 P 所以均值E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. 3.(2018·湖北荊州中學質檢)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷量的頻率分布直方圖,如

25、圖所示. 將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立. (1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率; (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量X的分布列,均值E(X)及方差D(X). 解析 (1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)

26、=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3,相應的概率為 P(X=0)=C(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C×0.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C×0.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C×0.63=0.216, 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 X~B(3,0.6),E(X)=3×0.6=1.8, D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 4.(2018·河北唐山一模)某投資公司在2018年年初準備將

27、1 000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇: 項目一:新能源汽車,據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和; 項目二:通信設備.據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,和. 針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由. 解析 若按“項目一”投資,設獲利為X1萬元,則X1的分布列為 X1 300 -150 P ∴E(X1)=300×+(-150)×=200. 若按“項目二”投資,設獲利X2萬元,則X2的分

28、布列為 X2 500 -300 0 P ∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200. 又D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000, D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140 000. 所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥. 綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資. 易錯點 求期望、方差時計算不準確以及解答不規(guī)范 錯因分析:求離散型隨機變量的均值和方差時嚴格按照步驟來解,解答完后要注意查看解題中的關

29、鍵點. 【例1】 甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球,已知甲袋中共有m個球,乙袋中共有2m個球,從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為,從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2. (1)若m=10,求甲袋中紅球的個數(shù); (2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后,從中摸出1個紅球的概率是,求P2的值; (3)設P2=,若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球,每次摸出1個球,并且從甲袋中摸1次,從乙袋中摸2次.設ξ表示摸出紅球的總次數(shù),求ξ的分布列和均值. 解析 (1)設甲袋中紅球的個數(shù)為x, 依題意得x=10×=4. (2)由已知,得=,解得P2=. (3)ξ的所有可能值為0,1,2,3. P

30、(ξ=0)=××=, P(ξ=1)=××+×C××=, P(ξ=2)=×C××+×2=, P(ξ=3)=×2=. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 【跟蹤訓練1】 (2016·山東卷)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,求: (1)

31、“星隊”至少猜對3個成語的概率; (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望E(X). 解析 (1)記事件A為“甲第一輪猜對”,記事件B為“乙第一輪猜對”,記事件C為“甲第二輪猜對”,記事件D為“乙第二輪猜對”,記事件E為“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC, 由事件的獨立性與互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)·P()=×

32、××+2×=. 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意,隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性,得P(X=0)=×××=, P(X=1)=2×==, P(X=2)=×××+×××+×××+×××=, P(X=3)=×××+×××==, P(X=4)=2×==, P(X=6)=×××==. 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. 課時達標 第62講 [解密考綱]離散型隨機變量及其分布列、均值與方差在高考中一般

33、與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及超幾何分布相結合,以實際問題為背景呈現(xiàn)在三種題型中,難度中等或較大,正態(tài)分布一般以選擇題或填空題進行考查. 一、選擇題 1.設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=( D ) A.+p   B.1-p C.1-2p   D.-p 解析 由正態(tài)分布的概念可知,當P(ξ>1)=p時,P(0<ξ<1)=-p,而正態(tài)分布曲線關于y軸對稱,所以P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=-p,故選D. 2.某運動員投籃命中率為0.6,他重復投籃5次,若他命中一次得10分,沒命中不得分;命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(

34、X),D(Y)分別為( C ) A.0.6,60   B.3,12 C.3,120   D.3,1.2 解析 X~B(5,0.6),Y=10X,∴E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2,D(Y)=100D(X)=120. 3.若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 則X的數(shù)學期望E(X)=( C ) A.2   B.2或 C.   D.1 解析 因為分布列中概率和為1,所以+=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=. 4.(2018·山東濰坊質檢)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(X<5

35、)=0.8,則P(13)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2

36、),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 解析 根據(jù)題意得,E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1-pi),i=1,2, ∵04, 即P(X>4)

37、==1-P(X≤4), 故P(X≤4)=,所以μ=4. 二、填空題 7.設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則a的值為____. 解析 由正態(tài)分布的性質知,若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則=3,解得a=. 8.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學期望為__200__. 解析 記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y,則Y~B(1 000,0.1), 所以E(Y)=1 000×0.1=100.又X=2Y,所以E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200. 9.(20

38、18·貴州七校第一次聯(lián)考)在某校2015年高三11月月考中理科數(shù)學成績X~N(90,σ2)(σ>0),統(tǒng)計結果顯示P(60≤X≤120)=0.8,假設該校參加此次考試的有780人,那么試估計此次考試中,該校成績高于120分的有__78__人. 解析 因為成績X~N(90,σ2),所以其正態(tài)曲線關于直線x=90對稱.又P(60≤X≤120)=0.8,由對稱性知成績在120分以上的人數(shù)約為總人數(shù)的×(1-0.8)=0.1,所以估計成績高于120分的有0.1×780=78人. 三、解答題 10.某研究機構準備舉行一次數(shù)學新課程研討會,共邀請50名一線教師參加,使用不同版本教材的教師人數(shù)如表所示

39、. 版本 人教A版 人教B版 蘇教版 北師大版 人數(shù) 20 15 5 10 (1)從這50名教師中隨機選出2名,求2人所使用版本相同的概率; (2)若隨機選出2名使用人教版的教師發(fā)言,設使用人教A版的教師人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望. 解析 (1)從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為C=1 225. 選出2人使用版本相同的方法數(shù)為C+C+C+C=350. 故2人使用版本相同的概率為P==. (2)X的所有可能取值為0,1,2. P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P

40、∴E(X)=0×+1×+2×==. 11.(2018·廣東廣州五校聯(lián)考)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質量為二級;在75微克/立方米以上空氣質量為超標.某市環(huán)保局從市區(qū)今年9月每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中,按系統(tǒng)抽樣方法抽取了某6天的數(shù)據(jù)作為樣本,其監(jiān)測值如莖葉圖所示. (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值和方差; (2)從所抽樣的6天中任意抽取3天,記ξ表示抽取的3天中空氣

41、質量為二級的天數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望. 解析 (1)==41, s2=×[(26-41)2+(30-41)2+(36-41)2+(44-41)2+(50-41)2+(60-41)2]=137. 根據(jù)樣本估計今年9月份該市區(qū)每天PM 2.5的平均值為41,方差為137. (2)由莖葉圖知,所抽樣的6天中有2天空氣質量為一級,有4天空氣質量為二級,則ξ的可能取值為1,2,3,其中P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)=1×+2×+3×=2. 12.(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種

42、酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表. 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣

43、溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值? 解析 (1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500, 由表格數(shù)據(jù)知 P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4, P(X=500)==0.4, 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500. 當300≤n≤

44、500時,若最高氣溫不低于25,Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25), 則Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n, 因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n. 當200≤n<300時, 若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n. 所以當n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元. 19

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