《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第1節(jié) 集合教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第1節(jié) 集合教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一節(jié) 集 合
[考綱傳真] 1.了解集合的含義,體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系;能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集;在具體情境中,了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.(3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個(gè)特性:確定性、互異性、無(wú)序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號(hào)分別為∈和?.
(3)集合的三種表
2、示方法:列舉法、描述法、Venn圖法.
(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法
集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集:若對(duì)?x∈A,都有x∈B,則A?B或B?A.
(2)真子集:若A?B,但?x∈B,且x?A,則AB或BA.
(3)相等:若A?B,且B?A,則A=B.
(4)空集的性質(zhì):?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運(yùn)算
(1)A∪B={x|x∈A或x∈B};
(2)A∩B={x|x∈A且x∈B};
(3)?UA={x|x∈U且x?A}.
[常用結(jié)
3、論]
1.對(duì)于有限集合A,其元素個(gè)數(shù)為n,則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2.
2.A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.( )
(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.( )
(3)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.( )
(4)直線y=x+3與y=-2x+6的交點(diǎn)組成的集合是{1,4}.( )
[解析] (1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集,就是它本身,故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的.
4、(2)錯(cuò)誤.三個(gè)集合分別表示函數(shù)y=x2的定義域(-∞,+∞),值域[0,+∞),拋物線y=x2上的點(diǎn)集.
(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x=1時(shí),不滿足互異性.
(4)錯(cuò)誤.兩直線交點(diǎn)組成的集合為{(1,4)}.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材改編)若集合A={x∈N|x≤2},a=,則下列結(jié)論正確的是( )
A.{a}?A B.a(chǎn)?A C.{a}∈A D.a(chǎn)?A
D [由題意知A={0,1,2},由a=,知a?A.]
3.已知集合A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},則A∪B中的元素個(gè)數(shù)為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5、
C [因?yàn)锽={0,2,4},所以A∪B={0,1,2,4},元素個(gè)數(shù)為4,故選C.]
4.(教材改編)已知集合A={x|x2-x-6<0},集合B={x|x-1<0},則A∩B=________.
(-2,1) [∵A={x|-2<x<3},B={x|x-1<0}={x|x<1},
∴A∩B={x|-2<x<1}.]
5.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,則x=________.
-1 [由題意,得或解得x=-1.]
集合的基本概念
1.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為( )
A
6、.9 B.8 C.5 D.4
A [由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的個(gè)數(shù)為CC=9,故選A.]
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一個(gè)元素,則a=( )
A. B. C.0 D.0或
D [若集合A中只有一個(gè)元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根.
當(dāng)a=0時(shí),x=,符合題意;
當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=(-3)2-8a=0得a=,
所以a的取值為0或.]
3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},則a2 019+b2 019為( )
7、
A.1 B.0 C.-1 D.±1
C [由已知得a≠0,則=0,
所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.]
[規(guī)律方法] (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合.
(2)集合中元素的互異性常常容易忽略,求解問(wèn)題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題.
集合的基本關(guān)系
【例1】 (1)(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知集合M={0,1},則
8、滿足條件M∪N=M的集合N的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|-m<x<m}.若B?A,則m的取值范圍為_(kāi)_______.
(1)D (2)(-∞,1] [(1)由M∪N=M得N?M,即找集合M的子集個(gè)數(shù),故滿足題意的集合N有:?,{0},{1},{0,1},共4個(gè).
(2)當(dāng)m≤0時(shí),B=?,顯然B?A,
當(dāng)m>0時(shí),B≠?,因?yàn)锳={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}.
當(dāng)B?A時(shí),有
所以
所以0<m≤1.
綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1].]
[規(guī)律方法] (
9、1)若B?A,應(yīng)分B=?和B≠?兩種情況討論.
(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問(wèn)題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖,化抽象為直觀進(jìn)行求解.
已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},則( )
A.AB B.BA
C.A?B D.B=A
B [由題意知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
因此BA.]
集合的基本運(yùn)算
?考法1 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算
【例2】 (1)(2019·陜西模擬)已
10、知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|2x<4},則A∪B=( )
A.? B.{x|x∈R}
C.{x|x≤1} D.{x|x>2}
(2)已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A={9},則A=( )
A.{1,3} B.{3,7,9}
C.{3,5,9} D.{3,9}
(1)B (2)D [(1)∵A={x|x2-3x+2≥0}={x|x≥2或x≤1},
B={x|2x<4}={x|x<2}.
∴A∪B=R,故選B.
(2)法一:因?yàn)锳∩B={3},所以3∈A,又(?UB)∩A={9},所以9∈
11、A.若5∈A,則5?B(否則5∈A∩B),從而5∈?UB,則(?UB)∩A={5,9},與題中條件矛盾,故5?A.同理,1?A,7?A,故A={3,9}.
法二:本題也可以利用Venn圖幫助理解,如圖所示.
]
?考法2 利用集合的運(yùn)算求參數(shù)
【例3】 (1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,則m等于( )
A.0或 B.0或3
C.1或 D.1或3
(2)已知集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-1,2) B.(-∞,2]
C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)
(1)B
12、 (2)D [(1)由A∪B=A,得B?A,所以m∈A.因?yàn)锳={1,3,},所以m=或m=3,即m=3或m=1或m=0.由集合中元素的互異性知m≠1,故選B.
(2)M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠?,結(jié)合數(shù)軸可得a>-1.
]
[規(guī)律方法] 解決集合運(yùn)算問(wèn)題需注意以下三點(diǎn):
(1)看元素組成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提.
(2)看集合能否化簡(jiǎn),集合能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn),再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算,可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了,易于求解.
(3)要借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化.一般地,集合元素離散時(shí)用Venn圖表示;集合元素連
13、續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示,并注意端點(diǎn)值的取舍.
(1)設(shè)集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},則下列結(jié)論正確的是( )
A.A∪B={x|x<0}
B.(?RA)∩B={x|x<-1}
C.A∩B={x|-1<x<0}
D.A∪(?RB)={x|x≥0}
(2)(2019·河北六校聯(lián)考)設(shè)全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},則圖中陰影部分表示的集合為( )
A.{x|x<3} B.{x|-3<x≤1}
C.{x|x<2} D.{x|-2<x≤1}
(1)C (2)D [(1)由題知,A=(-1,2],B=(-∞,0),∴
14、A∪B=(-∞,2],A∩B=(-1,0),(?RA)∩B=(-∞,-1],A∪(?RB)=(-1,+∞),故選C.
(2)依題意得A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},題圖中陰影部分表示的集合為A∩B={x|-2<x≤1},故選D.]
1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=( )
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
B [法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以?RA={x|-1≤x≤2},故選B.
法
15、二:因?yàn)锳={x|x2-x-2>0},所以?RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故選B.]
2.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},則( )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=?
A [∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.
又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故選A.]
3.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},則B=( )
A.{1,-3} B.{1
16、,0}
C.{1,3} D.{1,5}
C [∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.
故選C.]
4.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
B [集合A表示以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓上的所有點(diǎn)的集合,
集合B表示直線y=x上的所有點(diǎn)的集合.
結(jié)合圖形可知,直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),
所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2.
故選B.]
5.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z),則A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
C [因?yàn)锽={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.]
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