2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 北師大版

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1、 第三節(jié)　圓的方程 [考綱傳真]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． (對應(yīng)學(xué)生用書第114頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2

2、＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [知識拓展] 1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)

3、表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) (4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) [解析]　由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確． (2)中，當(dāng)t≠0時，表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓，不正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是 (　　)

4、 A．a(chǎn)＜－2或a＞ B．－＜a＜0 C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜ D　[由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜.] 3．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　 B．－ C．　　　 D．2 A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．(2017·西安質(zhì)檢)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． x2＋(y－

5、1)2＝1　[兩圓關(guān)于直線對稱則圓心關(guān)于直線對稱，半徑相等，則圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.] 5．圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090274】 (x－2)2＋y2＝10　[設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)， ∵點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)在圓C上， ∴|CA|＝|CB|，即＝， 解得a＝2，所以圓心為C(2,0)， 半徑|CA|＝＝， ∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.] (對應(yīng)學(xué)生用書第115頁) 求圓的方程 　(1)(2015·全國

6、卷Ⅱ)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2)(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________． (1)B　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)法一：在坐標(biāo)系中畫出△ABC(如圖)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設(shè)BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E為外心，同時也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，從而|OE|＝＝＝

7、，故選B． 法二：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 所以△ABC外接圓的圓心為. 因此圓心到原點(diǎn)的距離d＝＝. (2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0， 所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.] [規(guī)律方法]　1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． 2．待定系數(shù)法求圓的方程：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，

8、從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 溫馨提醒：解答圓的方程問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2018·鄭州模擬)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090275】 (2)(2018·青島模擬)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(

9、y－1)2＝10)　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4　[(1)法一：∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 易知線段AB的垂直平分線方程為y＝－(x－4)． 設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，則有 解得a＝2，且b＝1. 因此圓心坐標(biāo)C(2,1)，半徑r＝|AC|＝. 故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5， ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b

10、＞0)，由題意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.] 與圓有關(guān)的最值問題 　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直線MQ的斜率

11、k. 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值為2＋，最小值為2－. [母題探究1]　(變化結(jié)論)在本例的條件下，求y－x的最大值和最小值． [解]　設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0. 當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值， ∴＝2，∴b＝9或b＝1. 因此y－x的最大值為9，最小值為1. [母題探究2]　(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(－2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x＋4y＋1＝0上的動點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值． [解]　∵圓心C(2,

12、7)到直線3x＋4y＋1＝0上動點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x＋4y＋1＝0的距離， ∴|QC|min＝d＝＝7. 又圓C的半徑r＝2，∴|MQ|的最小值為7－2. [規(guī)律方法]　1.處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解． 2．某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求解． 根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值是比較常用的． [變式訓(xùn)練2]　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值；

13、 (3)求x2＋y2的最大值和最小值． [解]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±(如圖1)． 所以的最大值為，最小值為－. 圖1　　　　圖2　　　　圖3 (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±(如圖2)． 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原

14、點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)． 又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 與圓有關(guān)的軌跡問題 　(2018·煙臺模擬)已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)． (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上， 所

15、以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中， |PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解． (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得

16、出方程求解． (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解． [變式訓(xùn)練3]　(2018·武威模擬)設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡． [解]　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分， 故＝，＝. 從而 又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況)． 7