2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.3 函數的奇偶性 第2課時 函數奇偶性的應用學案 新人教B版必修第一冊

第2課時函數奇偶性的應用(教師獨具內容)課程標準：會利用函數的奇偶性研究函數的定義域、值域、解析式、單調性等教學重點：函數奇偶性的應用教學難點：函數的奇偶性和單調性的綜合應用【情境導學】(教師獨具內容)通過上節(jié)課的學習，我們知道函數的奇偶性描述了函數圖像具有的對稱性，這節(jié)課我們就來學習如何應用函數的奇偶性來解決問題【知識導學】知識點一函數奇偶性的應用如果知道一個函數是奇函數或是偶函數，那么其定義域能分成關于原點對稱的兩部分，得出函數在其中一部分上的性質和圖像，就可得出這個函數在另一部分上的性質和圖像知識點二 偶函數的性質如果yf(x)是偶函數，那么其在x>0與x<0時的單調性相反知識點三 奇函數的性質如果yf(x)是奇函數，那么其在x>0與x<0時的單調性相同1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)偶函數的圖像一定與y軸相交()(2)奇函數的圖像一定通過原點()(3)若函數yf(x)是偶函數，且在1,2上單調遞增，那么該函數在2，1上也單調遞增()(4)若函數yf(x)是奇函數，且在(0,3)上單調遞減，那么該函數在(3,0)上單調遞增()答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2做一做(1)函數yf(x)，x1，a(a>1)是奇函數，則a等于()A1 B0 C1 D無法確定(2)已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)x2，則f(1)_.(3)如果奇函數f(x)在區(qū)間2,5上是減函數，且最大值為8，最小值為3，那么f(x)在5，2上是_函數，最大值是_，最小值是_答案(1)C(2)2(3)減38題型一 利用函數的奇偶性求值或求參數 例1(1)已知函數f(x)x3ax2bxc是定義在2b5,2b3上的奇函數，則f的值為()A. B. C1 D無法確定(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，則f(3)_.(3)已知函數f(x)(xa)(xb)(a，bR)為R上的偶函數求a，b的關系式；求關于x的方程f(x)0的解集解析(1)奇函數的定義域關于原點對稱，2b5(2b3)2b3.解得b2.f(x)是定義在1,1上的奇函數，f(0)c0，f(1)f(1)即1a2(1a2)a0.f(x)x32x.f32×1.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，則g(x)為奇函數f(3)g(3)2g(3)2.又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，f(3)527.(3)因為f(x)(xa)(xb)x2(ab)xab是偶函數，所以f(x)f(x)對于xR恒成立，所以(x)2(ab)xabx2(ab)xab，即2(ab)x0對于xR恒成立，所以ab0，即ba.由可知，f(x)x2a2.當a0時，f(x)x20，解得x0；當a0時，f(x)x2a20，解得x±a.綜上所述，當a0時，方程f(x)0的解集為0；當a0時，方程f(x)0的解集為a，a答案(1)B(2)7(3)見解析金版點睛利用奇偶性求參數的常見類型及策略(1)定義域含參數：奇、偶函數f(x)的定義域為a，b，根據定義域關于原點對稱，利用ab0求參數(2)解析式含參數：根據f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比較系數即可求解(1)設函數f(x)若f(x)是奇函數，則g(2)的值是()A3 B5 C5 D3(2)若f(x)ax2bxb1是定義在a1,2a上的偶函數，則ab的值為()A B. C D.答案(1)A(2)B解析(1)函數f(x)且f(x)是奇函數，g(2)f(2)f(2)(2×21)3.故選A.(2)f(x)ax2bxb1是定義在a1,2a上的偶函數，a12a，f(x)ax2bxb1f(x)ax2bxb1.a，b0.ab.故選B.題型二 利用函數的奇偶性求解析式例2若f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)x(1x)，求當x0時，f(x)的解析式解當x<0時，f(x)x(1x)，設x>0，則x<0.f(x)x(1x)，又f(x)是奇函數，f(x)f(x)，f(x)x(1x)當x0時，f(0)f(0)，即f(0)0.當x0時，f(x)x(1x)金版點睛利用函數奇偶性求解析式的方法注意求給定哪個區(qū)間的解析式就設這個區(qū)間上的變量x，然后把x轉化為x為另一已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過互化，求得所求區(qū)間上的解析式已知f(x)是定義在R上的奇函數，并且當x>0時f(x)x3x1，求f(x)的解析式解當x>0時，f(x)x3x1，設x<0，x>0.f(x)(x)3(x)1x3x1.又f(x)是奇函數，f(0)0，f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.故f(x)題型三 函數的奇偶性與單調性的綜合應用例3(1)已知函數yf(x)是定義在R上的偶函數，在2,6上是減函數，試比較f(5)與f(3)的大??；(2)設定義在2,2上的奇函數f(x)在區(qū)間0,2上單調遞減，若f(m)f(m1)>0，求實數m的取值范圍解(1)因為f(x)是偶函數，所以f(5)f(5)，因為f(x)在2,6上是減函數，所以f(5)<f(3)，所以f(5)<f(3)(2)由f(m)f(m1)>0，得f(m)>f(m1)，即f(1m)<f(m)又f(x)在區(qū)間0,2上為減函數且f(x)在2,2上為奇函數，f(x)在2,2上為減函數即解得1m<.故m的取值范圍為.金版點睛奇偶性與單調性綜合問題的兩種類型(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{區(qū)間上在同一單調區(qū)間上，直接利用函數的單調性比較大??；不在同一單調區(qū)間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大小(2)解不等式利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；根據奇函數在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反，脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式求解(1)已知函數f(x)在5,5上是偶函數，f(x)在0,5上是單調函數，且f(4)<f(2)，則下列不等式一定成立的是()Af(1)<f(3) Bf(2)<f(3)Cf(3)<f(5) Df(0)>f(1)(2)設函數f(x)在R上是偶函數，在(，0)上單調遞減，若f(a22a3)>f(a2a1)，求實數a的取值范圍答案(1)D(2)見解析解析(1)因為函數f(x)在5,5上是偶函數，所以f(4)<f(2)f(4)<f(2)又f(x)在0,5上是單調函數所以f(x)在0,5上單調遞減，從而f(0)>f(1)(2)由題意，知f(x)在(0，)上是增函數又a22a3(a1)22>0，a2a12>0，且f(a22a3)>f(a2a1)，所以a22a3>a2a1，即3a<2，a<.綜上，實數a的取值范圍是. 1若函數f(x)為奇函數，則a等于()A. B. C. D1答案A解析函數f(x)的定義域為.又f(x)為奇函數，定義域應關于原點對稱，a.2若函數f(x)ax2(2a)x1是偶函數，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為()A(，0 B0，)C(，) D1，)答案A解析因為函數f(x)為偶函數，所以a20，a2，即該函數f(x)2x21，所以函數在(，0上單調遞增故選A.3設f(x)是R上的偶函數，且在0，)上單調遞增，則f(2)，f()，f(3)的大小順序是()Af()>f(3)>f(2) Bf()>f(2)>f(3)Cf(3)>f(2)>f() Df(3)>f()>f(2)答案A解析f(x)是R上的偶函數，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上單調遞增，且2<3<，f()>f(3)>f(2)，即f()>f(3)>f(2)4奇函數f(x)在區(qū)間3,6上是增函數，在區(qū)間3,6上的最大值是4，最小值是1，則2f(6)f(3)_.答案7解析f(x)是奇函數，且在3,6上是增函數，f(3)1，f(6)4.2f(6)f(3)2f(6)f(3)2×417.5已知函數f(x)x24x3.(1)若g(x)f(x)bx為偶函數，求b的值；(2)求函數f(x)在3,3上的最大值解(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3，g(x)x2(b4)x3，g(x)g(x)，b40，b4.(2)f(x)x24x3的圖像關于直線x2對稱，f(x)在x2時取得最小值1，在x3時取得最大值24.7