2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考系列 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考定位　高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識. 真 題 感 悟 1.(2018·全國Ⅱ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率. 解　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cos α≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan

2、α·x＋2－tan α， 當(dāng)cos α＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程， 整理得關(guān)于t的方程 (1＋3cos2α)t2＋4 (2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)， 所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 2.(2018·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos

3、 θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程. 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－3＝0， 即(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓. 由題設(shè)知，C1是過點B(0，2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當(dāng)l1與C2只有一個公共點

4、時，A到l1所在直線的距離為2， 所以＝2，故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當(dāng)k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點. 當(dāng)l2與C2只有一個公共點時， A到l2所在直線的距離為2， 所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當(dāng)k＝時，l2與C2沒有公共點. 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 考 點 整 合 1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ

5、，θ)，則 2.直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a，0)(a>0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3.圓的極坐標(biāo)方程 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(r，0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 4.直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點P0(x0，y0

6、)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量. 5.圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π). (2)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 熱點一　曲線的極坐標(biāo)方程 【例1】 (2017·全國Ⅱ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)設(shè)點M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△O

7、AB面積的最大值. 解　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0). (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0). 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 探究提高　1.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)

8、鍵是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧. 2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解. 【訓(xùn)練1】 (2018·江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長. 解　因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ， 所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓. 因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2， 則直線l過A(4，0)，傾斜角為， 所以A為直線

9、l與圓C的一個交點. 設(shè)另一個交點為B，則∠OAB＝. 連接OB.因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos ＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 熱點二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例2】 (2017·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解　(1)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1， 聯(lián)立方程解得或 則C與l交點坐標(biāo)是(3，0)和. (2)直線l的

10、普通方程是x＋4y－4－a＝0. 設(shè)曲線C上點P(3cos θ，sin θ). 則P到l距離d＝＝， 其中tan φ＝. 又點C到直線l距離的最大值為. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值為17. 若a≥0，則－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，則5－4－a＝17，∴a＝－16. 綜上，實數(shù)a的值為a＝－16或a＝8. 探究提高　1.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件. 2.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其

11、是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 【訓(xùn)練2】 (2018·石家莊調(diào)研)已知在極坐標(biāo)系中，點A，B，C是線段AB的中點.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線Ω的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)). (1)求點C的直角坐標(biāo)，并求曲線Ω的普通方程； (2)設(shè)直線l過點C交曲線Ω于P，Q兩點，求·的值. 解　(1)將點A，B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得A(，1)和B(－，3). 所以點C的直角坐標(biāo)為(0，2). 將消去參數(shù)θ，得x2＋(y＋2)2＝4， ∴曲線Ω的普通方程為x2＋(y＋2)2＝4.

12、 (2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)， 代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得：t2＋8tsin α＋12＝0. 設(shè)點P，Q對應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2，則t1t2＝12， ·＝||||＝|t1t2|＝12. 熱點三　極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【例3】 (2018·菏澤模擬)以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤φ<π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝8sin θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)φ變化時，求|AB|的最小值. 解

13、　(1)由消去t得 xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0， 所以直線l的普通方程為xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0. 由ρcos2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ， 把x＝ρcos φ，y＝ρsin φ代入上式，得x2＝8y， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝8y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＝8y， 得t2cos2φ－8tsin φ－16＝0， 設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝. 當(dāng)φ＝0時，|AB|的最小值為8. 探究提高　1.涉及參數(shù)方程

14、和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程. 2.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的. 【訓(xùn)練3】 已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4. (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點，與直線l交于B點，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點，求△PAB的面積. 解　(1)由(θ為參數(shù))，消去θ. 得普通方程為

15、(x－2)2＋y2＝4. 從而曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ， 因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4， 即ρsin θ＋ρcos θ＝4， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0. (2)依題意，聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標(biāo)方程， 得A，B兩點的極坐標(biāo)分別為，， 聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標(biāo)方程， 得P點極坐標(biāo)為，∴|AB|＝2， ∴S△PAB＝×2×2sin＝2. 1.在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決. 2.要熟悉常見曲線的參數(shù)

16、方程、極坐標(biāo)方程，如：圓、橢圓、及過一點的直線，在研究直線與它們的位置關(guān)系時常用的技巧是轉(zhuǎn)化為普通方程解答. 3.過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2). 1.(2017·江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值. 解　由消去t. 得l的普通方

17、程為x－2y＋8＝0， 因為點P在曲線C上，設(shè)點P(2s2，2s). 則點P到直線l的距離d＝＝， 所以當(dāng)s＝時，d有最小值＝. 因此當(dāng)P的坐標(biāo)為(4，4)時，曲線C上的點P到直線l的距離取最小值. 2.(2017·全國Ⅲ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑. 解　(1)由l1：(t為參數(shù))消去t， 得l1的普通

18、方程y＝k(x－2)，① 同理得直線l2的普通方程為x＋2＝ky，② 聯(lián)立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0). 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0). (2)將直線l3化為普通方程為x＋y＝， 聯(lián)立得 ∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5， ∴l(xiāng)3與C的交點M的極徑為. 3.(2018·安徽聯(lián)合質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin－2＝0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝，C1與C2相交于A，B兩點. (1)把C1和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求點A，B的直角坐標(biāo)； (2)若P為C1上

19、的動點，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍. 解　(1)由題意知，曲線C1與曲線C2的直角坐標(biāo)方程分別為C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0. 聯(lián)立得或 即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1). (2)設(shè)P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨設(shè)A(－1，－1)，B(1，1)，則|PA|2＋|PB|2 ＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2 ＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin， 所以|PA|2＋|PB|2的取值范圍為[16－8，16＋8]. 4.(2018·湖南

20、六校聯(lián)考)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4. (1)求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求|OA|·|OB|. 解　(1)由消去t， 得y－＝(x－1)，即y＝x. ∴直線l的普通方程為y＝x. 曲線C：ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4. ∴其直角坐標(biāo)方程x2＋y2＝4x＋2y－4， 即(x－2)2＋(y－)2＝3. (2)易由y＝x，得直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝. 代入曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－5ρ＋4＝0

21、， 所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4. 5.(2016·全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓. 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中， 得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－

22、2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上. 所以a＝1. 6.(2018·全國Ⅲ卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點. (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x

23、2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時，l與⊙O交于兩點. 當(dāng)α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)<1， 解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，<α<). 設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，<α<). 7.(2018·武漢調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極

24、點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，直線l與曲線C交于A，B兩點. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點P的極坐標(biāo)為，求|PA|·|PB|的值. 解　(1)l的普通方程為x＋y－1＝0； 又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2， 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. (2)點P的直角坐標(biāo)為. 法一　P在直線l上，直線l的參數(shù)方程為 (t′為參數(shù))， 代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得 ＋2－2＝0， 即t′2＋t′－＝0， |PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝. 法二　3x2－4x

25、＝0x1＝0，x2＝， ∴A(0，1)，B， ∴|PA|＝＝， |PB|＝＝， |PA|·|PB|＝·＝. 8.(2018·鄭州質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)已知直線l上一點M(3，2)，若直線l與圓C交于不同兩點A，B，求＋的取值范圍. 解　(1)直線l的參數(shù)方程為 得普通方程為xsin α－ycos α＋2cos α－3sin α＝0， 將ρ＝，cos θ＝代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ中， 得圓的普通方程為x2＋y2－2x＝0. (2)直線l的參數(shù)方程為代入圓的方程為x2＋y2－2x＝0，得t2＋(4cos α＋4sin α)t＋7＝0(*)， 設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2， 由題意t1＋t2＝－4(cos α＋sin α)，t1·t2＝7. ＋＝＝ ＝|sin α＋cos α|. 因為方程(*)有兩個不同的實根， 所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0， 則|sin α＋cos α|>. 又sin α＋cos α＝sin∈[－，]， 所以|sin α＋cos α|∈. 所以|sin α＋cos α|∈. 所以<＋≤. 13