2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課教學(xué)案 新人教B版選修1-1

第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會用導(dǎo)數(shù)解決一些簡單的實際應(yīng)用問題知識點一在xx0處的導(dǎo)數(shù)1定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是li _，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)2幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0)處的切線_知識點二導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的_(簡稱_)，f(x)y_.知識點三基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yC(C為常數(shù))y_yxu(uQ*)y_ysin xy_ycos xy_yaxy_(a>0，a1)yexy_ylogaxy_(a>0且a1，x>0)yln xy_知識點四導(dǎo)數(shù)的運算法則和差的導(dǎo)數(shù)f(x)±g(x)_積的導(dǎo)數(shù)f(x)·g(x)_商的導(dǎo)數(shù)_(g(x)0)知識點五函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果在(a，b)內(nèi)，_，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；_，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點x0，對于存在一個包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點x，如果都有_，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取_，記作y極大值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點；如果都有_，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取_，記作y極小值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點知識點六求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟1求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有_2計算函數(shù)f(x)在極值點和_，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設(shè)出常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一類類型跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由類型二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例2已知函數(shù)f(x).(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意t，2，f(t)>t恒成立，求實數(shù)a的取值范圍反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由類型三函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)例3已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，過曲線yf(x)上的點P(1，f(1)的切線方程為y3x1，yf(x)在x2時有極值(1)求f(x)的表達式；(2)求yf(x)在3,1上的單調(diào)區(qū)間和最大值反思與感悟(1)已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義(2)討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值類型四分類討論思想例4已知函數(shù)f(x)1.(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)m>0，求f(x)在m,2m上的最大值；(3)試證明：對nN，不等式ln()e<.反思與感悟(1)分類討論即分別歸類再進行討論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略(2)解題時首先要思考為什么分類，即分類依據(jù)是什么，一般的分類依據(jù)如：方程類型、根的個數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號的方向等；其次考慮分幾類，每一類中是否還需要再分類(3)分類討論的基本原則是不重不漏跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)是定義在1,0)(0,1上的偶函數(shù)，當(dāng)x1,0)時，f(x)x3ax(a為實數(shù))(1)當(dāng)x(0,1時，求f(x)的解析式；(2)若a>3，試判斷f(x)在(0,1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)是否存在a，使得當(dāng)x(0,1時，f(x)有最大值1?1曲線y在點M處的切線的斜率為( )A B. C D.2如果函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()3體積為16的圓柱，它的半徑為_時，圓柱的表面積最小4已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上單調(diào)遞增，則a的最大值為_5設(shè)f(x)aln xx1，其中aR，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0)明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點2借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體3利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題答案精析知識梳理知識點一1 2斜率知識點二導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)li 知識點三0uxu1cos xsin xaxln aex知識點四f(x)±g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知識點五1f(x)>0f(x)<02f(x)<f(x0)極大值f(x)>f(x0)極小值知識點六1極值點2端點的函數(shù)值題型探究例1解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當(dāng)a2時，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x>0.當(dāng)a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a>0時，由f(x)0，解得xa.當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值跟蹤訓(xùn)練1解(1)因為f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程設(shè)切點坐標為(x0,3x6x012)，又因為g(x0)6x06，所以切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)將點(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x0±1.當(dāng)x01時，g(1)12，g(1)21，切點坐標為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時，g(1)0，g(1)9，切點坐標為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因為f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當(dāng)x0時，f(0)11，此時切線方程為y12x11；當(dāng)x1時，f(1)2，此時切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.當(dāng)x1時，f(1)18，此時切線方程為y18；當(dāng)x2時，f(2)9，此時切線方程為y9，所以y9是公切線綜上所述，當(dāng)k0時，y9是兩曲線的公切線例2解(1)當(dāng)a1時，f(x)，f(x).由f(x)>0，得x<2，由f(x)<0，得x>2.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，)(2)若對任意t，2，f(t)>t恒成立，則當(dāng)x，2時，>x恒成立，即當(dāng)x，2時，a>ex恒成立設(shè)g(x)ex，x，2，則g(x)ex，x，2設(shè)h(x)ex，h(x)ex>0在x，2上恒成立，h(x)在，2上單調(diào)遞增，即g(x)ex在，2上單調(diào)遞增g()e4<0，g(2)e2>0，g(x)ex在，2上有零點m，g(x)ex在，m上單調(diào)遞減，在m,2上單調(diào)遞增，即a>e2.即實數(shù)a的取值范圍為(e2，)跟蹤訓(xùn)練2解(1)求導(dǎo)得f(x)3x2a，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.當(dāng)a0時，f(x)x31在R上單調(diào)遞增，符合題意所以a的取值范圍是(，0(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，則f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因為在(1,1)上，03x2<3，所以a3.當(dāng)a3時，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，即a3符合題意所以存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，且a的取值范圍是3，)例3解(1)因為f(x)3x22axb，所以f(1)32ab，故過曲線上P點的切線方程為yf(1)(32ab)(x1)，即y(abc1)(32ab)(x1)，已知該切線方程為y3x1，所以即因為yf(x)在x2時有極值，所以f(2)0，即4ab12，解方程組得所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x12，x2.當(dāng)x3，2)時，f(x)>0；當(dāng)x(2，)時，f(x)<0；當(dāng)x(，1時，f(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3，2)和(，1，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，)又f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在區(qū)間3,1上的最大值為13.跟蹤訓(xùn)練3解(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因為x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去當(dāng)x(0,5)時，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)所以函數(shù)f(x)在x5時取得極小值f(5)ln 5.例4(1)解函數(shù)f(x)的定義域是(0，)由已知f(x)，令f(x)0，得1ln x0，所以xe.因為當(dāng)0<x<e時，f(x)>0，當(dāng)x>e時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減(2)解由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，當(dāng)0<2me，即0<m時，f(x)在m,2m上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(2m)1；當(dāng)me時，f(x)在m,2m上單調(diào)遞減所以f(x)maxf(m)1；當(dāng)m<e<2m，即<m<e時，當(dāng)mx<e時，f(x)>0，當(dāng)e<x2m時，f(x)<0，所以f(x)maxf(e)1.(3)證明由(1)知，當(dāng)x(0，)時，f(x)maxf(e)1，所以在(0，)上恒有f(x)11，即，當(dāng)且僅當(dāng)xe時“”成立，所以對x(0，)恒有l(wèi)n xx.因為>0，e，所以ln<·ln()e<，即對nN，不等式ln()e<恒成立跟蹤訓(xùn)練4解(1)設(shè)x(0,1，則x1,0)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)x3ax，即當(dāng)x(0,1時，f(x)x3ax.(2)f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，證明如下：f(x)3x2a，x(0,1，3x23,0)又a>3，a3x2>0，即f(x)>0.f(x)在(0,1上單調(diào)遞增(3)當(dāng)a>3時，f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(1)a11.a2與a>3矛盾當(dāng)0a3時，令f(x)a3x20，得x或x(舍去)當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞增當(dāng)x時，f(x)<0，f(x)在上單調(diào)遞減又函數(shù)f(x)在x處連續(xù)，f(x)maxf3a1.解得a.當(dāng)a<0時，f(x)a3x2<0，f(x)在(0,1上單調(diào)遞減，f(x)在(0,1上無最大值綜上，存在a，使f(x)在(0,1上有最大值1.當(dāng)堂訓(xùn)練1By，故y|x，曲線在點M處的切線的斜率為.2A由f(x)與f(x)的關(guān)系可知選A.32解析設(shè)圓柱底面半徑為r，母線長為l.16r2l，即l，則S表面積2r22rl2r22r×2r2，由S4r0，得r2.當(dāng)r2時，圓柱的表面積最小43解析由題意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3，a的最大值為3.5解(1)f(x).由題意知，曲線在x1處的切線斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)ln xx1(x>0)，則f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)當(dāng)x(0,1)時，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值f(1)3，無極大值14