2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第三講 數(shù)列學案 理

第三講數(shù)列命 題 者 說考 題 統(tǒng) 計考 情 點 擊2018·全國卷·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式2018·全國卷·T14·數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系2018·浙江高考·T10·數(shù)列的綜合應用2018·北京高考·T4·數(shù)學文化、等比數(shù)列的通項公式2017·全國卷·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)。2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力。考向一 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量運算【例1】(1)(2018·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項公式為_。(2)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn。已知S3，S6，則a8_。解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，a2a5a1da14d65d36，所以d6，所以an3(n1)·66n3。(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由S62S3，得q1，則解得則a8a1q7×2732。答案(1)an6n3(2)32在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量。 變|式|訓|練1(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在等差數(shù)列an中，若Sn為前n項和，2a7a85，則S11的值是()A55 B11C50 D60解析解法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可得2(a16d)a17d5，得a15d5，則S1111a1d11(a15d)11×555。故選A。解法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由2a7a85，得2(a6d)a62d5，得a65，所以S1111a655。故選A。答案A2(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列an中，a37，前三項之和S321，則公比q的值是()A1 BC1或 D1或解析當q1時，an7，S321，符合題意；當q1時，得q。綜上，q的值是1或。故選C。答案C考向二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)應用【例2】(1)(2018·湖北荊州一模)在等差數(shù)列an中，若a3a4a53，a88，則a12的值是()A15 B30C31 D64(2)等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為()A6 B7C8 D9(3)(2018·洛陽聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的兩根，則的值為()A BC D或解析(1)因為a3a4a53，所以3a43，a41，又2a8a4a12，所以a122a8a42×8115。故選A。(2)由d>0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，所以a6a11a8a90，又d>0，所以a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值。故選C。(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a3，a15是方程x26x20的根，所以a3·a15a2，a3a156，所以a3<0，a15<0，則a9，所以a9。故選B。答案(1)A(2)C(3)B等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應用策略(1)項數(shù)是關(guān)鍵：解題時特別關(guān)注條件中項的下標即項數(shù)的關(guān)系，尋找項與項之間、多項之間的關(guān)系選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題。(2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。(3)構(gòu)造不等式函數(shù)：可以構(gòu)造不等式函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)求范圍或最值。 變|式|訓|練1(2018·太原一模)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2a3a109，則S9()A3 B9C18 D27解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a2a3a109，所以3a112d9，即a14d3，所以a53，所以S99a527。故選D。答案D2(2018·西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為()A10 B11C12 D13解析由S6>S7>S5，得S7S6a7<S6，S7S5a6a7>S5，所以a7<0，a6a7>0，所以S1313a7<0，S126(a6a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為12。故選C。答案C3已知2，a1，a2，8成等差數(shù)列，2，b1，b2，b3，8成等比數(shù)列，則等于()A BC D或解析因為2，a1，a2，8成等差數(shù)列，所以a2a1d2，因為2，b1，b2，b3，8成等比數(shù)列，所以b24，所以。故選B。答案B考向三 數(shù)列的遞推關(guān)系【例3】(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足4(n1)(Sn1)(n2)2an(nN*)，則數(shù)列an的通項公式an()A(n1)3 B(2n1)2C8n2 D(2n1)21(2)在數(shù)列an中，a11，a1an(nN*)，則數(shù)列an的通項公式an_。解析(1)當n1時，4×(11)×(a11)(12)2×a1，解得a18。當n2時，4(Sn1)，則4(Sn11)，兩式相減得，4an，整理得，所以an····a1××××8(n1)3。檢驗知，a18也符合，所以an(n1)3。故選A。(2)根據(jù)a1an，有a1an1(n2)，得，anan1，即n2an1(n21)an(n2)，所以(n2)，所以n2時，ana1××××1××××，檢驗a11也符合，所以an。答案(1)A(2)由an與Sn的關(guān)系求通項公式的注意事項(1)應重視分類整合思想的應用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1成立的前提是n2。(2)由SnSn1an推得an，當n1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)。(3)由SnSn1an推得an，當n1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an 變|式|訓|練1(2018·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11，且an1a1ann(nN*)，則()ABCD解析由a11，an1a1ann可得an1ann1，利用累加法可得ana1n(n1)(n2)32，所以an，所以2，故22。故選A。答案A2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn。若S24，an12Sn1，nN*，則S5_。解析因為an12Sn1，所以Sn1Sn2Sn1，所以Sn13Sn1，所以Sn13，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以3。又S24，所以S11，所以S5×34×34，所以S5121。答案121考向四 數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問題【例4】(2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1a2a3a4ln(a1a2a3)。若a1>1，則()Aa1<a3，a2<a4 Ba1>a3，a2<a4Ca1<a3，a2>a4 Da1>a3，a2>a4解析解法一：因為函數(shù)ylnx在點(1,0)處的切線方程為yx1，所以lnxx1(x>0)，所以a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31，所以a41，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q1，則a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0，而a1a2a3a1(1qq2)>a1>1，所以ln(a1a2a3)>0，與ln(a1a2a3)a1a2a3a40矛盾，所以1<q<0，所以a1a3a1(1q2)>0，a2a4a1q(1q2)<0，所以a1>a3，a2<a4。故選B。解法二：因為exx1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，所以ea1a2a3a4a1a2a3a1a2a3a41，則a41，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q1，則a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0，而a1a2a3a1>1，所以ln(a1a2a3)>0，與ln(a1a2a3)a1a2a3a40矛盾，所以1<q<0，所以a1a3a1(1q2)>0，a2a4a1q(1q2)<0，所以a1>a3，a2<a4。故選B。答案B本題利用lnxx1或exx1放縮后，得出1<q<0，再結(jié)合選項利用作差法得到了結(jié)果。 變|式|訓|練(2018·洛陽聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足nan2(n2)an(n22n)，其中a11，a22，若an<an1對任意的nN*恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_。解析由nan2(n2)an(n22n)n(n2)得，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項均是以為公差的等差數(shù)列，因為a11，a22，所以當n為奇數(shù)時，11，所以ann。當n為偶數(shù)時，11，所以ann。當n為奇數(shù)時，由an<an1得n<n1，即(n1)>2，若n1，則R，若n>1，則>，所以0。當n為偶數(shù)時，由an<an1得n<n1，即3n>2，所以>，即0。綜上，實數(shù)的取值范圍為0，)。答案0，)1(考向一)(2018·山東淄博一模)已知an是等比數(shù)列，若a11，a68a3，數(shù)列的前n項和為Tn，則T5()AB31CD7解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a11，a68a3，所以q38，解得q2。所以an2n1。所以n1。所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列。則T5。故選A。答案A2(考向二)(2018·湖南衡陽一模)在等差數(shù)列an中，a13a8a15120，則a2a14的值為()A6 B12 C24D48解析因為在等差數(shù)列an中，a13a8a15120，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a13a8a155a8120，所以a824，所以a2a142a848。故選D。答案D3(考向二)(2018·廣東汕頭模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a19，4，則Sn取最大值時的n為()A4 B5C6 D4或5解析由an為等差數(shù)列，得a5a32d4，即d2，由于a19，所以an2n11，令an2n11<0，得n>，所以Sn取最大值時的n為5。故選B。答案B4(考向三)(2018·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若3Sn2an3n，則a2 018()A22 0181 B32 0186C2 018 D2 018解析因為a1S1，所以3a13S12a13a13。當n2時，3Sn2an3n,3Sn12an13(n1)，所以an2an13，即an12(an11)，所以數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an1(2)×(2)n1(2)n，則a2 01822 0181。故選A。答案A5(考向四)(2018·江蘇高考)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*。將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an。記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得Sn>12an1成立的n的最小值為_。解析所有的正奇數(shù)和2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成an，在數(shù)列an中，25前面有16個正奇數(shù)，即a2125，a3826。當n1時，S11<12a224，不符合題意；當n2時，S23<12a336，不符合題意；當n3時，S36<12a448，不符合題意；當n4時，S410<12a560，不符合題意；當n26時，S2644162503<12a27516，不符合題意；當n27時，S2748462546>12a28540，符合題意。故使得Sn>12an1成立的n的最小值為27。答案279