2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2

第2章 平面解析幾何初步直線方程及其應(yīng)用【例1】過點(diǎn)A(5，4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線l的方程思路探究已知直線過定點(diǎn)A，且與兩坐標(biāo)軸都相交，圍成的直角三角形的面積已知求直線方程時(shí)可采用待定系數(shù)法，設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，再由面積為5列方程，求直線的斜率解由題意知，直線l的斜率存在設(shè)直線為y4k(x5)，交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)(0，5k4)，S××|5k4|5，得25k230k160(無實(shí)根)，或25k250k160，解得k或k，所以所求直線l的方程為2x5y100，或8x5y200.(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件具備時(shí)要另行討論條件不滿足的情況(2)運(yùn)用直線系方程的主要作用在于能使計(jì)算簡單1過點(diǎn)P(1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1，求這兩條直線的方程解(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，滿足題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2.令y0，分別得x1，x.由題意得1，即k1.則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.直線的位置關(guān)系【例2】已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.思路探究已知兩直線的方程中都含有參數(shù)，求不同的位置關(guān)系時(shí)參數(shù)的取值，可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解解法一：當(dāng)m0或2時(shí)，兩直線既不平行，也不垂直；當(dāng)m0且m2時(shí)，直線l1，l2的斜率分別為：，.(1)若l1l2，則·1，解得m.(2)若l1l2，則由，得m1或m3.又當(dāng)m3時(shí)，l1與l2重合，故m3舍去故l1l2時(shí)，m1.法二：(1)l1l2，m23m0，m.(2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分知識常涉及的題型求解時(shí)，可以利用斜率之間的關(guān)系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直關(guān)系，求參數(shù)的值時(shí)也可用如下方法：直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2時(shí)，可令A(yù)1B2A2B10，解得參數(shù)的值后，再代入方程驗(yàn)證，排除重合的情況；(2)l1l2時(shí)，可利用A1A2B1B20直接求參數(shù)的值2已知點(diǎn)A(2,2)和直線l：3x4y200.(1)求過點(diǎn)A，且和直線l平行的直線方程；(2)求過點(diǎn)A，且和直線l垂直的直線方程解(1)因?yàn)樗笾本€與l：3x4y200平行，所以設(shè)所求直線方程為3x4ym0.又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2)，所以3×24×2m0，所以m14，所以所求直線方程為3x4y140.(2)因?yàn)樗笾本€與直線l：3x4y200垂直，所以設(shè)所求直線方程為4x3yn0.又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2)，所以4×23×2n0，所以n2，所以所求直線方程為4x3y20.距離問題【例3】已知兩條直線l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分別滿足下列條件的a、b的值(1)直線l1過點(diǎn)(3，1)，并且直線l1與直線l2垂直；(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等解(1)l1l2，a(a1)(b)·10.即a2ab0.又點(diǎn)(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率為1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分別表示為l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原點(diǎn)到l1與l2的距離相等，4，解得a2或a.因此或距離公式的運(yùn)用1距離問題包含兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行直線間的距離2牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用，解決距離問題時(shí)，往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合3已知正方形中心為點(diǎn)M(1,0)，一條邊所在直線的方程是x3y50，求其他三邊所在直線的方程解正方形中心到直線x3y50的距離d.設(shè)與直線x3y50平行的直線方程為x3yC10.由正方形的性質(zhì)，得，解得C15(舍去)或C17.所以與直線x3y50相對的邊所在的直線方程為x3y70.設(shè)與直線x3y50垂直的邊所在的直線方程為3xyC20.由題意，得，解得C29或C23.所以另兩邊所在直線的方程為3xy90和3xy30.求圓的方程【例4】求圓心在直線3x4y10上，且經(jīng)過兩圓x2y2xy20與x2y25的交點(diǎn)的圓的方程思路探究解答本題可利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解，也可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解解法一：設(shè)所求圓為x2y2xy2(x2y25)0，化為一般式，得x2y2xy0.故圓心坐標(biāo)為，代入直線3x4y10，得.再把代入所設(shè)方程，得x2y22x2y110，故所求圓的方程為x2y22x2y110.法二：解方程組得兩圓的交點(diǎn)為A(1，2)和B(2，1)設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.A，B在圓上，且圓心在直線3x4y10上，解得所求圓的方程是x2y22x2y110.求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題一般地，當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時(shí)，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解；當(dāng)已知圓上三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)圓的一般方程；當(dāng)所求圓經(jīng)過直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)時(shí)，常利用圓系方程來解答過兩個(gè)已知圓x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)4圓心在直線5x3y8上，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xx0)2(yy0)2r2(r0)因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸均相切，故圓心坐標(biāo)滿足x0y00或x0y00.又圓心在直線5x3y8上，所以5x03y08.由得由得所以圓心坐標(biāo)為(4,4)或(1，1)，相應(yīng)的半徑為r4或r1，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例5】已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l過點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，求直線l的方程思路探究分斜率存在與不存在兩種情況：(1)(2)解(1)當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y3k(x2)，即kxy32k0.示意圖如圖，作MCAB于C.在RtMBC中，|BC|AB|，|MB|2，故|MC|1，由點(diǎn)到直線的距離公式得1，解得k.故直線l的方程為3x4y60.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x2，且|AB|2，所以符合題意綜上所述，直線l的方程為3x4y60或x2.1直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程2解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題5求圓O：x2y236與圓M：x2y210y160的公切線的方程解如圖，易知兩圓相交，公切線有兩條由圓M的方程易得M(0,5)，r3.設(shè)兩圓的公切線與圓O相切于點(diǎn)B(x0，y0)，則公切線方程為x0xy0y36.點(diǎn)M到公切線的距離等于3，3.xy36，點(diǎn)M在公切線的下方，(5y036)18，即y0.從而x0±±.故公切線方程為xy360或xy360，即4x3y300或4x3y300.軌跡問題【例6】如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|4，過動點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN，(M，N分別為切點(diǎn))，使得|PM|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程思路探究由PMO1與PNO2均為直角三角形表示出切線長|PM|與|PN|，建立坐標(biāo)系后，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可由等式|PM|PN|求出P點(diǎn)的軌跡方程解如圖，以O(shè)1，O2所在直線為x軸，線段|O1O2|的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則O1(2,0)，O2(2,0)，設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)在RtPMO1中，|PM|2|PO1|21，在RtPNO2中，|PN|2|PO2|21.又因?yàn)閨PM|PN|，所以|PM|22|PN|2，即|PO1|212(|PO2|21)，即|PO1|212|PO2|2，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即為所求點(diǎn)P的軌跡方程1求動點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中的重要題型，解答這類問題常用的方法有：直接法、定義法、消元法、代數(shù)法等2求軌跡方程的步驟：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)列出動點(diǎn)滿足的軌跡條件；(3)把軌跡條件坐標(biāo)化；(4)化簡整理；(5)檢驗(yàn)在檢驗(yàn)中要排除不符合要求的點(diǎn)，或者補(bǔ)充上漏掉的部分6等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么解設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y) .依題意，得|AC|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式，得，整理得(x4)2(y2)210.這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以4.且2，即點(diǎn)C不能為(5，1)故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x4)2(y2)210(除去點(diǎn)(3,5)和(5，1)綜上，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，1)兩點(diǎn)- 10 -