2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2

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1、第2章 平面解析幾何初步直線方程及其應(yīng)用【例1】過點(diǎn)A(5,4)作一直線l,使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5,求直線l的方程思路探究已知直線過定點(diǎn)A,且與兩坐標(biāo)軸都相交,圍成的直角三角形的面積已知求直線方程時可采用待定系數(shù)法,設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式,再由面積為5列方程,求直線的斜率解由題意知,直線l的斜率存在設(shè)直線為y4k(x5),交x軸于點(diǎn),交y軸于點(diǎn)(0,5k4),S|5k4|5,得25k230k160(無實(shí)根),或25k250k160,解得k或k,所以所求直線l的方程為2x5y100,或8x5y200.(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法,要掌握直線方程五種形式的適用條

2、件及相互轉(zhuǎn)化,能根據(jù)條件靈活選用方程,當(dāng)不能確定某種方程條件具備時要另行討論條件不滿足的情況(2)運(yùn)用直線系方程的主要作用在于能使計算簡單1過點(diǎn)P(1,0),Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線,使它們在x軸上截距之差的絕對值為1,求這兩條直線的方程解(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時,兩條直線的方程分別為x1,x0,它們在x軸上截距之差的絕對值為1,滿足題意;(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其斜率為k,則兩條直線的方程分別為yk(x1),ykx2.令y0,分別得x1,x.由題意得1,即k1.則直線的方程為yx1,yx2,即xy10,xy20.綜上可知,所求的直線方程為x1,x0,或xy10,xy20

3、.直線的位置關(guān)系【例2】已知直線l1:xmy60,l2:(m2)x3y2m0,求m的值,使得:(1)l1l2;(2)l1l2.思路探究已知兩直線的方程中都含有參數(shù),求不同的位置關(guān)系時參數(shù)的取值,可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解解法一:當(dāng)m0或2時,兩直線既不平行,也不垂直;當(dāng)m0且m2時,直線l1,l2的斜率分別為:,.(1)若l1l2,則1,解得m.(2)若l1l2,則由,得m1或m3.又當(dāng)m3時,l1與l2重合,故m3舍去故l1l2時,m1.法二:(1)l1l2,m23m0,m.(2)l1l2,3m(m2)0且2m6(m2),故m1.利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分

4、知識常涉及的題型求解時,可以利用斜率之間的關(guān)系判定;若方程都是一般式,知道平行或垂直關(guān)系,求參數(shù)的值時也可用如下方法:直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.(1)l1l2時,可令A(yù)1B2A2B10,解得參數(shù)的值后,再代入方程驗(yàn)證,排除重合的情況;(2)l1l2時,可利用A1A2B1B20直接求參數(shù)的值2已知點(diǎn)A(2,2)和直線l:3x4y200.(1)求過點(diǎn)A,且和直線l平行的直線方程;(2)求過點(diǎn)A,且和直線l垂直的直線方程解(1)因?yàn)樗笾本€與l:3x4y200平行,所以設(shè)所求直線方程為3x4ym0.又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2),所以3242m0,所以m14,所以所求直

5、線方程為3x4y140.(2)因?yàn)樗笾本€與直線l:3x4y200垂直,所以設(shè)所求直線方程為4x3yn0.又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2),所以4232n0,所以n2,所以所求直線方程為4x3y20.距離問題【例3】已知兩條直線l1:axby40,l2:(a1)xyb0,求分別滿足下列條件的a、b的值(1)直線l1過點(diǎn)(3,1),并且直線l1與直線l2垂直;(2)直線l1與直線l2平行,并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等解(1)l1l2,a(a1)(b)10.即a2ab0.又點(diǎn)(3,1)在l1上,3ab40.由解得a2,b2.(2)l1l2且l2的斜率為1a,l1的斜率也存在,1a,即b.故l1

6、和l2的方程可分別表示為l1:(a1)xy0,l2:(a1)xy0.原點(diǎn)到l1與l2的距離相等,4,解得a2或a.因此或距離公式的運(yùn)用1距離問題包含兩點(diǎn)間的距離,點(diǎn)到直線的距離,兩平行直線間的距離2牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用,解決距離問題時,往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合3已知正方形中心為點(diǎn)M(1,0),一條邊所在直線的方程是x3y50,求其他三邊所在直線的方程解正方形中心到直線x3y50的距離d.設(shè)與直線x3y50平行的直線方程為x3yC10.由正方形的性質(zhì),得,解得C15(舍去)或C17.所以與直線x3y50相對的邊所在的直線方程為x3y70.設(shè)與直線x3y50垂直的邊所在的

7、直線方程為3xyC20.由題意,得,解得C29或C23.所以另兩邊所在直線的方程為3xy90和3xy30.求圓的方程【例4】求圓心在直線3x4y10上,且經(jīng)過兩圓x2y2xy20與x2y25的交點(diǎn)的圓的方程思路探究解答本題可利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解,也可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解解法一:設(shè)所求圓為x2y2xy2(x2y25)0,化為一般式,得x2y2xy0.故圓心坐標(biāo)為,代入直線3x4y10,得.再把代入所設(shè)方程,得x2y22x2y110,故所求圓的方程為x2y22x2y110.法二:解方程組得兩圓的交點(diǎn)為A(1,2)和B(2,1)設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.A,B在圓

8、上,且圓心在直線3x4y10上,解得所求圓的方程是x2y22x2y110.求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,利用待定系數(shù)法解題一般地,當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時,設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解;當(dāng)已知圓上三個點(diǎn)時,設(shè)圓的一般方程;當(dāng)所求圓經(jīng)過直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)時,常利用圓系方程來解答過兩個已知圓x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)4圓心在直線5x3y8上,且圓與兩坐標(biāo)軸均相切,求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xx0)2(yy0)2r2(r0)因?yàn)閳A與兩坐

9、標(biāo)軸均相切,故圓心坐標(biāo)滿足x0y00或x0y00.又圓心在直線5x3y8上,所以5x03y08.由得由得所以圓心坐標(biāo)為(4,4)或(1,1),相應(yīng)的半徑為r4或r1,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例5】已知圓M:(x1)2(y1)24,直線l過點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A,B兩點(diǎn),且|AB|2,求直線l的方程思路探究分斜率存在與不存在兩種情況:(1)(2)解(1)當(dāng)直線l存在斜率時,設(shè)直線l的方程為y3k(x2),即kxy32k0.示意圖如圖,作MCAB于C.在RtMBC中,|BC|AB|,|MB|2,故|MC|1,由點(diǎn)到直線

10、的距離公式得1,解得k.故直線l的方程為3x4y60.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,其方程為x2,且|AB|2,所以符合題意綜上所述,直線l的方程為3x4y60或x2.1直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn),切線問題更是重中之重,判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主,解題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程2解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征,利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系,以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題5求圓O:x2y236與圓M:x2y210y160的公切線的方程解如圖,易知兩圓相交,公切線有兩條由圓M的方程易得M(0,5),r3

11、.設(shè)兩圓的公切線與圓O相切于點(diǎn)B(x0,y0),則公切線方程為x0xy0y36.點(diǎn)M到公切線的距離等于3,3.xy36,點(diǎn)M在公切線的下方,(5y036)18,即y0.從而x0.故公切線方程為xy360或xy360,即4x3y300或4x3y300.軌跡問題【例6】如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,|O1O2|4,過動點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM,PN,(M,N分別為切點(diǎn)),使得|PM|PN|,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動點(diǎn)P的軌跡方程思路探究由PMO1與PNO2均為直角三角形表示出切線長|PM|與|PN|,建立坐標(biāo)系后,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可由等式|PM|PN|求出P點(diǎn)的軌跡方程解如圖,以O(shè)1

12、,O2所在直線為x軸,線段|O1O2|的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則O1(2,0),O2(2,0),設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)在RtPMO1中,|PM|2|PO1|21,在RtPNO2中,|PN|2|PO2|21.又因?yàn)閨PM|PN|,所以|PM|22|PN|2,即|PO1|212(|PO2|21),即|PO1|212|PO2|2,所以(x2)2y212(x2)2y2,整理得x2y212x30,即為所求點(diǎn)P的軌跡方程1求動點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中的重要題型,解答這類問題常用的方法有:直接法、定義法、消元法、代數(shù)法等2求軌跡方程的步驟:(1)建系設(shè)點(diǎn);(2)列出動點(diǎn)滿足的軌跡條件;(3)

13、把軌跡條件坐標(biāo)化;(4)化簡整理;(5)檢驗(yàn)在檢驗(yàn)中要排除不符合要求的點(diǎn),或者補(bǔ)充上漏掉的部分6等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個端點(diǎn)是B(3,5),求另一個端點(diǎn)C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么解設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y) .依題意,得|AC|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式,得,整理得(x4)2(y2)210.這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心,以為半徑的圓,如圖所示,又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個頂點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)不共線即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個端點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合,所以點(diǎn)C不能為(3,5)又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個端點(diǎn),所以4.且2,即點(diǎn)C不能為(5,1)故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x4)2(y2)210(除去點(diǎn)(3,5)和(5,1)綜上,它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心,為半徑的圓,但除去(3,5)和(5,1)兩點(diǎn)- 10 -

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