2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第48講 圓的方程學(xué)案

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1、 第48講　圓的方程 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.掌握確定圓的幾何要素． 2．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程． 3．了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系表示點的位置. 2016·江蘇卷，18 2015·全國卷Ⅰ，14 2014·陜西卷，12 求圓的方程，利用圓的性質(zhì)求解最值. 分值：5分 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到__定點__的距離等于__定長__的點的軌跡叫做圓 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C：__(a，b)__ 半徑：__r__ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

2、 圓心： 半徑：r＝ 2．點與圓的位置關(guān)系 (1)理論依據(jù)：__點__與__圓心__的距離與半徑的大小關(guān)系． (2)三種情況 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)， ①(x0 －a)2＋(y0 －b)2__＝__r2?點在圓上； ②(x0 －a)2＋(y0 －b)2__>__r2?點在圓外； ③(x0－a)2＋(y0 －b)2__<__r2?點在圓內(nèi)． 3．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念 (1)空間直角坐標(biāo)系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸，y軸，z軸．這時建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做__坐標(biāo)原點__，x軸，y軸，z軸統(tǒng)

3、稱__坐標(biāo)軸__，由坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面． (2)右手直角坐標(biāo)系的含義是：當(dāng)右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向時，中指一定指向z軸的__正方向__. (3)空間一點M的坐標(biāo)為有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的__橫坐標(biāo)__，y叫做點M的__縱坐標(biāo)__，z叫做點M的__豎坐標(biāo)__. (4)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝____，AB的中點P的坐標(biāo)為____. 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．(　×　) (

4、2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓心為，半徑為的圓．(　×　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　√　) (4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y ＋Dx0 ＋Ey0＋F>0.(　√　) (5)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　) 解析 (1)錯誤．t≠0時，方程表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓． (2)錯誤．a(chǎn)2＋(2a)2－4(2a2

5、＋a－1)>0即－20得方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，反之也成立． (4)正確．因為點M(x0，y0)在圓外，所以2＋2>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. (5)正確．設(shè)M(x，y)是圓上異于直徑端點A，B的點，由·＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 顯然A，B也滿足上式．所以以AB為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．已知點A(1，－1)，B( －1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　A　) A．x2＋

6、y2＝2　　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1　　 D．x2＋y2＝4 解析 ∵圓心為(0,0)，半徑r＝＝， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 3．方程x2 ＋y2＋ax＋2ay＋2a2 ＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　D　) A．(－∞，－2)∪　　 B． C．(－2,0)　　 D． 解析 ∵方程表示圓，則a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， ∴－2

7、內(nèi)， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1

8、法是待定系數(shù)法，大致步驟如下： ①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程． 【例1】 根據(jù)下列條件，求圓的方程． (1)經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上； (2)經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6； (3)圓心在直線y＝－ 4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)． 解析 (1)由題意知kAB＝2，AB中點為(4,0)，設(shè)圓心C(a，b)， ∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點， ∴圓心一定

9、在線段AB的垂直平分線上． 則解得∴C(2,1)， ∴r＝|CA|＝＝， ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P，Q兩點的坐標(biāo)分別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 設(shè)x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (3)如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，

10、半徑r＝2， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 二　與圓有關(guān)的最值問題 與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 【例2】 已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 解析 方程x2＋y2－4x＋1＝0變形為(x－2)2＋y2＝3表示的圖形是圓．

11、 (1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (2)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值． 又圓心到原點的距離為＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. (3)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時

12、＝，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－. 三　與圓有關(guān)的軌跡問題 求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法 求解與圓有關(guān)的軌跡問題應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件的不同采用以下方法： (1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． (2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． (4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等． 【例3】 已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝ 90°，求線段PQ中點的軌跡方程． 解析 (1)設(shè)AP的中點為M(x

13、，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 四　空間直角坐標(biāo)系中的對稱問題 解決空間直角坐標(biāo)系中點的對稱問題的關(guān)注點 (1)看清所求問題是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

14、還是坐標(biāo)平面對稱，明確哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒發(fā)生變化． (2)記清各類對稱點坐標(biāo)間的對稱關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵． (3)可借助于坐標(biāo)系中的長方體模型幫助記憶點P關(guān)于原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的對稱的特點，以便解決其他問題． 【例4】 如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1的對稱中心是坐標(biāo)原點，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標(biāo)平面，頂點A(－2，－3，－1)，求其他七個頂點的坐標(biāo)． 解析 由題意得，點B與點A關(guān)于xOz平面對稱，故點B的坐標(biāo)為(－2,3，－1)； 點D與點A關(guān)于yOz平面對稱，故點D的坐標(biāo)為(2，－3，－1)； 點C與點A關(guān)于z軸對稱，故點C的坐標(biāo)為

15、(2,3，－1)． 由于點A1，B1，C1，D1分別與點A，B，C，D關(guān)于xOy平面對稱， 故點A1，B1，C1，D1的坐標(biāo)分別為A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1), C1(2,3,1), D1(2，－3,1)． 1．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為(　D　) A．3x＋y－5＝0　　 B．x－2y＝0 C．x－2y＋4＝0　　 D．2x＋y－3＝0 解析 直線x－2y＋3＝0的斜率為，已知圓的圓心坐標(biāo)為(2，－1)，該直徑所在直線的斜率為－2，所以該直徑所在的直線方程為y＋1＝－2(x－

16、2)，即2x＋y－3＝0，故選D． 2．已知在圓M：x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　D　) A．3　　 B．6 C．4　　 D．2 解析 圓x2＋y2－4x＋2y＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 圓心M(2，－1)，半徑r＝，最長弦為圓的直徑， ∴|AC|＝2. ∵BD為最短弦，∴AC與BD垂直，易求得|ME|＝， ∴|BD|＝2|BE|＝2＝2.　 ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BDC ＝|BD|×|EA|＋|BD|×|EC| ＝|BD|×(|EA|＋|EC|)＝|BD|×|AC

17、| ＝×2×2＝2，故選D． 3．已知拋物線C1：x2＝ 2y的焦點為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B兩點，交C1的準(zhǔn)線于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　A　) A．x2＋2＝4　　　　 B．2＋y2＝4 C．x2＋2＝2　　　　 D．2＋y2＝2 解析 由題設(shè)知拋物線的焦點為F，所以圓C2的圓心坐標(biāo)為.因為四邊形ABCD是矩形，所以BD為直徑，AC為直徑，又F為圓C2的圓心，所以點F為該矩形的兩條對角線的交點，所以點F到直線CD的距離與點F到直線AB的距離相等．又直線CD的方程為y＝－，點F到直線CD的距離為1，所以直線AB的方程為y＝，可取A，

18、所以圓C2的半徑r＝|AF|＝＝2，所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋2＝4，故選A． 4．已知點A(1，－2,1)關(guān)于平面xOy的對稱點為A1，則|AA1|＝__2__. 解析 易知A1(1，－2，－1)， 所以|AA1|＝＝2. 易錯點　忽視圓的方程中的隱含條件致誤 錯因分析：忽視圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的隱含條件D2＋E2－4F＞0而導(dǎo)致錯誤． 【例1】 若過點(0,0)作圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0的切線有兩條，則k的取值范圍是________. 解析 因為方程表示圓，所以k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0， 即3k

19、2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜.① 由題意，得點(0,0)在圓外，所以2k2＋k－1＞0， 解得k＞或k＜－1.② 由①②，得－2＜k＜－1或＜k＜， 故k的取值范圍是(－2，－1)∪. 答案 (－2，－1)∪ 【跟蹤訓(xùn)練1】 若a∈，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個數(shù)為(　B　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 原方程變形為 2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1， ∵方程表示圓，∴－a2－a＋1>0，即(a＋2)(3a－2)<0， ∴－2

20、填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(　A　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 解析 設(shè)對稱圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1，圓心(1,2)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(2,1)，故對稱圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2 ＝1，故選A． 2．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(1,2)的圓的方程是(　A　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

21、 D．x2＋(y－3)2＝1 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0, a)，則＝1， ∴a＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 3．以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且與雙曲線－＝1的兩漸近線相切的圓的方程為(　C　) A．x2＋2＝ B．x2＋(y－1)2＝ C．(x－1)2＋y2＝ D．(x－2)2＋y2＝ 解析 拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，雙曲線－＝1的漸近線為y＝±x，即3x±4y＝0.由已知，得圓的半徑長等于點F到直線3x±4y＝0的距離，即r＝＝，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝. 4．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任

22、意一點，則△ABC面積的最小值是(　A　) A．3－　　 B．3＋ C．3－　　 D． 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，則點C到直線AB的最短距離為－1.又因為|AB|＝2，所以△ABC面積的最小值為×2×＝3－. 5．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y＝0，則x－2y的最大值為(　B　) A．　　 B．10 C．9　　 D．5＋2 解析 原方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)為圓心，為半徑的圓．設(shè)x－2y＝b，則x－2y可看作直線x－2y＝b在x軸上的截距，當(dāng)直線與圓相

23、切時，b取得最大值或最小值，此時＝.∴b＝10或b＝0，∴x－2y的最大值是10. 6．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，右焦點F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系為(　C　) A．點P在圓外　　 B．點P在圓上 C．點P在圓內(nèi)　　 D．不確定 解析 ∵e2＝1＋2＝2，∴2＝1，∴＝1，∴a＝b，c＝a，∴方程ax2－bx－c＝0 可化為x2－x－＝0.∴x1＋x2＝1，x1·x2＝－.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2<8， ∴點P在圓內(nèi)，故選C． 二、填空題 7．圓心在直

24、線2x－y＝3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1__. 解析 依題意設(shè)圓心為(a,2a－3)，因為圓與兩坐標(biāo)軸均相切，所以|a|＝|2a－3|，解得a＝1或a＝3，即r＝1或3，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 8．若圓C與圓x2＋y2＋2x＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，則圓C的方程是__x2＋y2－2x－4y＋4＝0__. 解析 設(shè)C(a，b)，因為已知圓的圓心為A(－1,0)，由點A，C關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，得解得又因為圓的半徑是1，所以圓C的方程是(x－1)

25、2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0. 9．若過點P(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是　(－∞，－3)∪　. 解析 圓的方程可化為(x－a)2＋y2＝3－2a， 因為過點P(a，a)能作圓的兩條切線，所以點P在圓的外部， 即解得a<－3或1

26、A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由兩點式得AB的方程為＝，整理得6x－y＋11＝0. (2)因為M是BC的中點，所以M， 即M(1,1)， 所以|AM|＝＝2，所以圓的半徑為. 所以AM的中點為，即中點為(0,3)，所以以線段AM為直徑的圓的方程為x2＋(y－3)2＝5. 11．一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程． 解析 設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝

27、0.① 又因為圓過點A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③ 解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0. 12．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程； (3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值

28、范圍． 解析 (1)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5. 由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0＜y0＜7， 圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為＝2. 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝＝. 因為|BC|＝|OA|＝＝2， 而|MC|2＝d2＋2， 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 因為A(2,4)，T(t,0)，＋＝，所以① 因為點Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.② 將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25. 所以P(x1，y1)在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，即此兩圓有公共點， 所以5－5≤≤5＋5， 解得2－2≤t≤2＋2. 因此，實數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]． 13