《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第六節(jié) 幾何概型
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義.
(對應(yīng)學(xué)生用書第181頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.幾何概型的定義
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,與區(qū)域的形狀,位置無關(guān),則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.
2.幾何概型的兩個基本特點
(1)無限性:在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個.
(2)等可能性:每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.
3.幾何概型的概率公式
P(A)=.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”
2、,錯誤的打“×”)
(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.( )
(2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù),取到1的概率是.( )
(3)概率為0的事件一定是不可能事件.( )
(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(教材改編)有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機(jī)會,應(yīng)選擇的游戲盤是( )
A [P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,
所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).]
3.已知函數(shù)f(x
3、)=x2-2x-3,x∈[-1,4],則f(x)為增函數(shù)的概率為( )
A. B.
C. D.
C [f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,4],∴f(x)在[1,4]上是增函數(shù).∴f(x)為增函數(shù)的概率為P==.]
4.(2017·全國卷Ⅰ)如圖10-6-1,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是( )
圖10-6-1
A.
B.
C.
D.
B [不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,可得S正方形=4
4、.
由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,得S黑=S白=S圓=,所以由幾何概型知所求概率P===.
故選B.]
5.如圖10-6-2所示,在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計陰影部分的面積為________.
圖10-6-2
0.18 [由題意知,
==0.18.
∵S正=1,∴S陰=0.18.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第181頁)
與長度(角度)有關(guān)的幾何概型
(1)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是
5、隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)如圖10-6-3所示,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,在∠DAB內(nèi)作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為________.
圖10-6-3
(1)B (2) [(1)如圖,7:50至8:30之間的時間長度為40分鐘,而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達(dá)發(fā)車站,此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘,由幾何概型概率公式知所求概率為P==.故選B.
(2)以A為圓心,以AD=1為半徑作圓弧交AC,AP,AB分別為C′,P′,B
6、′.
依題意,點P′在上任何位置是等可能的,若射線AP與線段BC有公共點,則事件“點P′在上發(fā)生”.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′=.
故所求事件的概率]
[規(guī)律方法] 1.與長度有關(guān)的幾何概型,如果試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長度度量,則其概率的計算公式為P(A)=.
2.與角度有關(guān)的幾何概型,當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率,且不可用線段的長度代替,這是兩種不同的度量手段.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(2018·廣州綜合測試(二))在區(qū)間[-1,5]上隨機(jī)地取一個實數(shù)a,則方程x2-2ax+4a-3=0有兩個正根的概率為(
7、 )
A. B.
C. D.
(2)(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)=的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈D的概率是________.
(1)C (2) [(1)因為方程x2-2ax+4a-3=0有兩個正根,所以解得
8、:30~6:00之間到達(dá)的時刻是等可能的,先到同學(xué)須等待,15分鐘后還未見面便離開.則兩位同學(xué)能夠見面的概率是( )
【導(dǎo)學(xué)號:79140362】
A. B.
C. D.
D [從下午5:30開始計時,設(shè)兩位同學(xué)到達(dá)的時刻分別為x,y分鐘,則x,y應(yīng)滿足如圖中正方形OABC所示,若兩位同學(xué)能夠見面,則x,y應(yīng)滿足|x-y|≤15,如圖中陰影部分(含邊界)所示,所以所求概率P==,故選D.]
◎角度2 與線性規(guī)劃交匯的問題
(2017·廣州綜合測試)在平面區(qū)域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點P,則點P的坐標(biāo)(x,y)滿足y≤2x的概率為( )
A.
9、B.
C. D.
A [
依題意作出圖像如圖,則P(y≤2x)===.]
◎角度3 與定積分交匯的問題
(2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)在區(qū)間[1,e]上任取實數(shù)a,在區(qū)間[0,2]上任取實數(shù)b,使函數(shù)f(x)=ax2+x+b有兩個相異零點的概率是( )
A. B.
C. D.
A [函數(shù)f(x)=ax2+x+b有兩個相異零點,即方程ax2+x+b=0有兩個不等的實數(shù)根,則Δ=1-ab>0,b<.所有試驗結(jié)果為Ω={(a,b)|1≤a≤e,0≤b≤2},面積為2(e-1),使函數(shù)f(x)有兩個相異零點的事件為Ω1=,面積為da=lna|=1-0=1,則所求概率為P(A)
10、=,故選A.]
[規(guī)律方法] 1.與平面幾何、解析幾何等知識交匯問題的解題思路
利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識,先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀,再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸?,計算出其面積,進(jìn)而代入公式求概率.
2.與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路
先根據(jù)約束條件作出可行域,再確定形狀,求面積大小,進(jìn)而代入公式求概率.
3.與定積分交匯問題的解題思路
先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成,再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計算,并求其大小,進(jìn)而代入公式求概率.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(2018·云南二檢)RAND(0,1)表示生成一個在(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)(實數(shù)),若x=RAND(0,1),y=RAND(
11、0,1),則x2+y2<1的概率為( )
A. B.1-
C. D.1-
(2)如圖10-6-4,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率等于________.
圖10-6-4
(1)A (2) [(1)由幾何概型的概率計算公式知,所求概率P==,故選A.
(2)由題意知,陰影部分的面積
S=(4-x2)dx==,
所以所求概率P===.]
與體積有關(guān)的幾何概型
在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨
12、機(jī)取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為________.
1- [如圖,與點O距離不大于1的點的軌跡是一個半球,其體積V1=×π×13=.事件“點P與點O距離大于1的概率”對應(yīng)的區(qū)域體積為23-,根據(jù)幾何概型概率公式得,點P與點O距離大于1的概率P==1-.]
[規(guī)律方法] 與體積有關(guān)的幾何概型問題求法的關(guān)鍵點
對于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對立事件去求.
[跟蹤訓(xùn)練] 一個多面體的直觀圖和三視圖如圖10-6-5所示,點M是AB的中點,一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔,則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為( )
【導(dǎo)學(xué)號:79140363】
圖10-6-5
A. B. C. D.
D [由題圖可知VF-AMCD=×SAMCD×DF=a3,VADF-BCE=a3,所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為=.]
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