2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 階段復(fù)習(xí)課 第2課 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5

第二課數(shù)列核心速填等差、等比數(shù)列的性質(zhì)項(xiàng)目等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A若三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，這時(shí)G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G±前n項(xiàng)和公式Snna1dq1時(shí)，Snq1時(shí)，Snna1性質(zhì)下標(biāo)性質(zhì)m、n、p、qN*且mnpqamanapaqam·anap·aqSm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列成等比數(shù)列體系構(gòu)建題型探究等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列an中，已知a12，a416.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)an的公比為q，由已知得162q3，解得q2，an2×2n12n.(2)由(1)得a38，a532，則b38，b532.設(shè)bn的公差為d，則有解得所以bn1612(n1)12n28.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn6n222n.規(guī)律方法在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列an的公差d1，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：91432240】解(1)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a1×(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且S5>a1a9，所以5a110>a8a1，即a3a110<0，解得5<a1<2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，求an.(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且a11，an1Sn，求an.思路探究：(1)已知Sn求an時(shí)，應(yīng)分n1與n2討論；(2)在已知式中既有Sn又有an時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為Sn或an形式求解解(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn132n(32n1)2n1，當(dāng)n1時(shí)，a1S15不適合上式an(2)Sn3an1， n2時(shí)，Sn13an. 得SnSn13an13an，3an14an，又a2S1a1.n2時(shí)，an·n2，不適合n1.an 規(guī)律方法數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（1）定義法，即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.（2）已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式an求解.（3）)累加或累乘法,形如anan1f（n）（n2）的遞推式，可用累加法求通項(xiàng)公式；形如f（n）（n2）的遞推式，可用累乘法求通項(xiàng)公式. 跟蹤訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且an1anan1·an0(nN*)，求an的通項(xiàng)公式.【導(dǎo)學(xué)號：91432241】解an1anan1·an0，1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列故n.an.等差(比)數(shù)列的判定數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)設(shè)bnan12an，求證：bn是等比數(shù)列(2)設(shè)cn，求證：cn是等差數(shù)列思路探究：分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明證明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因?yàn)镾2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bn3·2n1an12an，所以3.所以cn1cn3，且c12，所以數(shù)列cn是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法（1）定義法：an1and（常數(shù)）an是等差數(shù)列；（q為常數(shù)，q0）an是等比數(shù)列.（2）中項(xiàng)公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；是等比數(shù)列.（3）通項(xiàng)公式法：anknb（k，b是常數(shù)）an是等差數(shù)列；anc·qn（c，q為非零常數(shù)）an是等比數(shù)列.（4）前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn（A，B為常數(shù)，nN*）an是等差數(shù)列；SnAqnA（A，q為常數(shù)，且A0，q0，q1，nN*）an是等比數(shù)列.特別提醒：前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(比)數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等差(比)即可.跟蹤訓(xùn)練3(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.數(shù)列求和探究問題1若數(shù)列cn是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q(q1)的等比數(shù)列，且ancnbn，如何求數(shù)列an的前n項(xiàng)和？提示：數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于數(shù)列cn和bn的前n項(xiàng)和的和2有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和試用此種方法求和：122232429921002.提示：122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.3我們知道，試用此公式求和：.提示：由得 11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkcnk(其中c、k為常數(shù))，且a24，a68a3，(1)求an；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.【導(dǎo)學(xué)號：91432242】思路探究：(1)已知Sn，據(jù)an與Sn的關(guān)系an確定an；(2)若an為等比數(shù)列，則nan是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的新數(shù)列，則可用錯(cuò)位相減法求和解(1)當(dāng)n>1時(shí)，anSnSn1k(cncn1)，則a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.當(dāng)n1時(shí)，a1S12.綜上所述，an2n(nN*)(2)nann·2n，則Tn22·223·23n·2n，2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1，兩式作差得Tn222232nn·2n1，Tn2(n1)·2n1.母題探究：1.(變結(jié)論)例題中的條件不變，(2)中“求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn”解由題知Tn12222323n2n(123n)(2222n)2n12.2(變結(jié)論)例題中的條件不變，將(2)中“求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列的前n項(xiàng)和Tn”解由題Tn，Tn，得：Tn1n，Tn22.規(guī)律方法數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有：(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；(2)分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.(4)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成 的數(shù)列求和.(5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).- 8 -