2017-2018學年高中數(shù)學 第二講 直線與圓的位置關系 三 圓的切線的性質及判定定理創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-1

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1、 三 圓的切線的性質及判定定理 [對應學生用書P25] 1．切線的性質 (1)性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑． 如圖，已知AB切⊙O于A點，則OA⊥AB. (2)推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點． (3)推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心． 2．圓的切線的判定方法 (1)定義：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線． (2)數(shù)量關系：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線． (3)定理：過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用數(shù)量關系來判定，而(3)是用位置關系加以判定的． [說明]　在切

2、線的判定定理中要分清定理的題設和結論，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則該直線就不是圓的切線． [對應學生用書P25] 圓的切線的性質 [例1]　如圖，已知∠C＝90°，點O在AC上，CD為⊙O的直徑，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半徑． [思路點撥]　⊙O切AB于點E，由圓的切線的性質，易聯(lián)想到連接OE構造Rt△OAE，再利用相似三角形的性質，求出⊙O的半徑． [解]　連接OE， ∵AB與⊙O切于點E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°. ∵∠C＝90°，∠A＝∠A， ∴Rt△ACB∽Rt△AEO， ∴＝. ∵B

3、C＝5，AC＝12，∴AB＝13， ∴＝， ∴OE＝. 即⊙O的半徑為. 利用圓的切線的性質來證明或進行有關的計算有時需添加輔助線，其中連接圓心和切點的半徑是常用輔助線，從而可以構造直角三角形，利用直角三角形邊角關系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等． 1．如圖，AB切⊙O于點B，延長AO交⊙O于點C，連接BC.若∠A＝40°，則∠C＝(　　) A．20°　　　　　　　　　 B．25° C．40° D．50° 解析：連接OB，因為AB切⊙O于點B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°. 又因為點C在AO的延長線上，且在⊙O

4、上， 所以∠C＝∠AOB＝25°. 答案：B 2.如圖，已知PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑．PC為⊙O的切線，C為切點，BD⊥PC于點D，交⊙O于點E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度數(shù)； (2)求DE的長． 解：(1)連接OC. ∵C為切點，∴OC⊥PC，△POC為直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， ∴sin ∠P＝＝.∴∠P＝30°. (2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中， 由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 得BD＝. 連接AE.則∠AEB＝90°，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin 30

5、°＝1， ∴DE＝BD－BE＝. 圓的切線的判定 [例2]　已知D是△ABC的邊AC上的一點，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線． [思路點撥] 　　→→ →→. [證明]　如圖，連接OB，OC，OD，OD交BC于E. ∵∠DCB是所對的圓周角， ∠BOD是所對的圓心角， ∠BCD＝45°， ∴∠BOD＝90°. ∵∠ADB是△BCD的一個外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30°， 從而∠BOC＝120°， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝

6、30°. 在△OEC中，因為∠EOC＝∠ECO＝30°， ∴OE＝EC， 在△BOE中，因為∠BOE＝90°，∠EBO＝30°. ∴BE＝2OE＝2EC， ∴＝＝， ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°， 故AB是△BCD的外接圓的切線． 要證明某直線是圓的切線，主要是運用切線的判定定理，除此以外，還有圓心到直線的距離等于半徑等判定方法，但有時需添加輔助線構造判定條件，其中過圓心作直線的垂線是常用輔助線． 3．本例中，若將已知改為“∠ABD＝∠C”，怎樣證明：AB是△BCD的外接圓的切線． 證明：作直徑BE，連接DE， ∵BE是⊙O的直徑， ∴∠BDE＝90°，

7、 ∴∠E＋∠DBE＝90°. ∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C， ∴∠ABD＋∠DBE＝90°. 即∠ABE＝90°. ∴AB是△BCD的外接圓的切線． 4.如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sin B＝，∠D＝30°. (1)求證：AD是⊙O的切線． (2)若AC＝6，求AD的長． 解：(1)證明：如圖，連接OA， ∵sin B＝，∴∠B＝30°， ∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°， ∵∠D＝30°， ∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°， ∴AD是⊙O的切線． (2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°， ∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝A

8、C＝6， ∵∠OAD＝90°，∠D＝30°， ∴AD＝AO＝6. 圓的切線的性質和判定的綜合考查 [例3]　如圖，AB為⊙O的直徑，D是的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于點F. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長． [思路點撥]　(1)連接OD，證明OD⊥DE； (2)作DG⊥AB. [證明]　(1)連接OD， ∵D是中點， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線． (2)過D作DG⊥AB，

9、 ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在Rt△ODG中，OG＝＝4， ∴AG＝4＋5＝9. ∵DG⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB. ∴＝. ∴＝.∴BF＝. 對圓的切線的性質與判定的綜合考查往往是熱點，其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質來求解相關結果． 5.如圖，已知兩個同心圓O，大圓的直徑AB交小圓于C、D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G，若小圓的半徑為2，EF＝4，試求EG的長． 解：連接GC，則GC⊥ED. ∵EF和小圓切于C， ∴EF⊥CD，EC＝EF＝2. 又CD＝4，∴在Rt△ECD中，

10、有ED＝ ＝ ＝2. 由射影定理可知EC2＝EG·ED， ∴EG＝＝＝. 6．如圖，以Rt△ABC直角邊AC上一點O為圓心，OC為半徑的⊙O與AC的另一個交點為E，D為斜邊AB上一點且在⊙O上，AD2＝AE·AC. (1)證明：AB是⊙O的切線； (2)若DE·OB＝8，求⊙O的半徑． 解：(1)證明：連接OD，CD， ∵AD2＝AE·AC， ∴＝.又∵∠DAE＝∠DAC， ∴△DAE∽△CAD，∴∠ADE＝∠ACD. ∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC， 又∵CE是⊙O的直徑， ∴∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ODA＝90°， ∴AB是⊙O的切線． (2)

11、∵AB，BC是⊙O的切線， ∴OB⊥DC，∴DE∥OB，∴∠CED＝∠COB， ∵∠EDC＝∠OCB，∴△CDE∽△BCO， ∴＝，DE·OB＝2R2＝8， ∴⊙O的半徑為2. [對應學生用書P27] 一、選擇題 1．下列說法：①與圓有公共點的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑的端點，垂直于此直徑的直線是圓的切線．其中正確的有(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 答案：C 2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于D.AB＝6，BC＝8，則BD等于(　　)

12、 A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 解析：∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AC. ∵BC是⊙O的切線，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10. ∴BD＝＝4.8. 答案：B 3.如圖，CD切⊙O于B，CO的延長線交⊙O于A，若∠C＝36°，則∠ABD的度數(shù)是(　　) A．72° B．63° C．54° D．36° 解析：連接OB. ∵CD為⊙O的切線，∴∠OBC＝90°. ∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°. 答案：B 4．如圖，在⊙O中，AB

13、為直徑，AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于C，若AD＝DC，則sin ∠ACO等于(　　) A. B. C. D. 解析：連接BD，則BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45°. ∵BC是⊙O的切線，切點為B， ∴∠OBC＝90°. ∴sin ∠BCO＝＝＝， cos ∠BCO＝＝＝. ∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO) ＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO ＝×－×＝. 答案：A 二、填空題 5．如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上一點，以M為圓心、2為半徑作⊙M.若點M在OB邊上運動

14、，則當OM＝________時，⊙M與OA相切． 解析：若⊙M與OA相切，則圓心M到直線OA的距離等于圓的半徑2. 過M作MN⊥OA于點N， 則MN＝2. 在Rt△MON中，∵∠MON＝30°， ∴OM＝2MN＝2×2＝4. 答案：4 6．已知PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB＝1.則圓O的半徑R＝________. 解析：AB＝＝. 由AB2＝PB·BC， ∴BC＝3，Rt△ABC中， AC＝＝2. ∴R＝. 答案： 7．圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分

15、別與直線l、圓交于點D、E，則∠DAC＝________，DC＝________. 解析：連接OC， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90°， ∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB， ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB是正三角形． ∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°. ∴∠DAC＝30°. 在Rt△ACB中，AC＝＝3， DC＝ACsin 30°＝. 答案：30°　 三、解答題 8.如圖所示，D是⊙O的直徑AB的延長線上一點，PD是⊙O的切線，P是切點，∠D＝30 °. 求證：PA＝PD. 證明：如圖，連接OP，

16、∵PD是⊙O的切線，P為切點． ∴PO⊥PD. ∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°. 又∵OA＝OP， ∴∠A＝∠APO＝30°. ∴∠A＝∠D.∴PA＝PD. 9.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過D點作⊙O的切線交AC于E. 求證：(1)DE⊥AC； (2)BD2＝CE·CA. 證明：(1)連接OD，AD. ∵DE是⊙O的切線，D為切點， ∴OD⊥DE. ∵AB是⊙O的直徑， ∴AD⊥BC.又AB＝AC， ∴BD＝DC. ∴OD∥AC.∴DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴△CDE∽△CAD. ∴＝.∴CD

17、2＝CE·CA. ∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA. 10.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE. (1)求證：AE是⊙O的切線； (2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的長． 解：(1)證明：連接OA. ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA＝∠EDA. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠OAD＝∠EDA. ∴OA∥CE. ∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°， ∴∠OAE＝∠DEA＝90°. ∴AE⊥OA. ∴AE是⊙O的切線． (2)∵BD是直徑， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°. ∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°. ∴∠BDE＝120°. ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA＝∠EDA＝60°. ∴∠ABD＝∠EAD＝30°. 在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°， ∴AD＝2DE. 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝4DE. ∵DE的長是1 cm， ∴BD的長是4 cm. 10