2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強化專題 專題5 平面解析幾何 突破點11 直線與圓學(xué)案 文

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1、 突破點11　直線與圓 [核心知識提煉] 提煉1 圓的方程 (1)圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. (2)圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關(guān)問題的兩個關(guān)鍵點 (1)三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理． (2)兩個公式：點到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d). 提煉3 求距離最值問題的本質(zhì) (1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為|PC|＋r

2、，最小值為|PC|－r，其中r為圓的半徑． (2)圓上的點到直線的最大距離是d＋r，最小距離是d－r，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑． (3)過圓內(nèi)一點，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦． [高考真題回訪] 回訪1　圓的方程 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　 B． C. D. A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線

3、的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝，∴e＝＝＝＝＝. 故選A.] 2．(2015·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________． 2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點的坐標為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點．設(shè)圓的標準方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標準方程為2＋y2＝.] 回訪2　直線與圓的相關(guān)問題 3．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝

4、0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D．2 A　[由圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝，|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2

5、， 所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 熱點題型1　圓的方程 題型分析：求圓的方程是高考考查的重點內(nèi)容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法． 【例1】(1)(2017·廈門質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標準方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 (2)(2016·黃山一模)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為1∶2，則圓C的方程為________. 【導(dǎo)

6、學(xué)號：04024101】(1)A　(2)x2＋2＝　[(1)由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標為(1，)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. (2)因為圓C關(guān)于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)， 設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2. 依題意，得 解得 所以圓C的方程為x2＋2＝.] [方法指津] 求圓的方程的兩種方法 1．幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程． 2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． [變式訓(xùn)練1] (1)已知圓M的圓心在x軸上，

7、且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4　　　 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 (2)(2016·長春一模)拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________． (1)B　(2)(x－1)2＋y2＝4　[(1)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標為(a,0)，a＞－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2

8、＝4. 故選B. (2)由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)， △AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.] 熱點題型2　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點內(nèi)容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法． 【例2】(1)(2017·合肥一模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－

9、3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 (1)B　[圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則|AB|＝2＝2＝2，得d＝1，則直線l的斜率不存在時，即x＝0適合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y＝kx＋3，＝1，解得k＝－，此時l：y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0，故選B.] (2)(2016·開封一模)如圖11-1，已知圓G：(x－2)2＋y2＝r2是橢圓＋y2＝1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點． ①求圓G的半徑r； ②過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G

10、相切. 【導(dǎo)學(xué)號：04024102】 圖11-1 [解]?、僭O(shè)B(2＋r，y0)，過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H. 由＝得＝， 即y0＝，　　(Ⅰ) 2分 而B(2＋r，y0)在橢圓上， y＝1－＝＝－，　　(Ⅱ) 3分 由(Ⅰ)(Ⅱ)式得15r2＋8r－12＝0， 解得r＝或r＝－(舍去). 5分 ②證明：設(shè)過點M(0,1)與圓(x－2)2＋y2＝相切的直線方程為y＝kx＋1，(Ⅲ) 則＝， 即32k2＋36k＋5＝0，(Ⅳ) 解得k1＝，k2＝. 將(Ⅲ)代入＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，則異于零的解為x＝－．

11、8分 設(shè)F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，則 x1＝－，x2＝－， 9分 則直線FE的斜率為kEF＝＝＝， 于是直線FE的方程為 y＋－1＝. 即y＝x－，則圓心(2,0)到直線FE的距離d＝＝，故結(jié)論成立． 12分 [方法指津] 1．直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量．研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線

12、的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式，過圓外一點求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點的距離，利用勾股定理計算． 2．弦長的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)． (3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解． [變式訓(xùn)練2] (1)(2016·哈爾濱一模)設(shè)直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程為_

13、_______． y＝x＋1　[直線l恒過定點M(0,1)，圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝4，易知點M(0,1)在圓C的內(nèi)部，依題意當l⊥CM時直線l被圓C截得的弦最短，于是k·＝－1，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.] (2)已知點M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍． ①求曲線E的方程； ②已知m≠0，設(shè)直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點．當CD的斜率為－1時，求直線CD的方程． [解]　①設(shè)曲線E上任意一點坐標為(x，y)， 由題意，＝， 2分 整理得x2＋y2－4x＋1＝0， 即(x－2)2＋y2＝3為所求． 4分 ②由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N(1,0)， 設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點為P，則直線EP：y＝x－2，設(shè)直線CD：y＝－x＋t， 由 解得點P. 7分 由圓的幾何性質(zhì)，|NP|＝|CD|＝， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2，∴2＋2＝3－2，解得t＝0，或t＝3，11分 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3． 12分 7