參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題解答

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參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題 1.設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差σ已知為150，今抽了一個(gè)容量為26的樣本，計(jì)算得平均值為1637。問在5％的顯著水平下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值μ為1600? 解: 標(biāo)準(zhǔn)差σ已知,拒絕域?yàn)?取 ,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,接受, 即,以95%的把握認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值μ為1600. 2.某紡織廠在正常的運(yùn)轉(zhuǎn)條件下，平均每臺(tái)布機(jī)每小時(shí)經(jīng)紗斷頭數(shù)為O.973根，各臺(tái)布機(jī)斷頭數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為O.162根，該廠進(jìn)行工藝改進(jìn)，減少經(jīng)紗上漿率，在200臺(tái)布機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果平均每臺(tái)每小時(shí)經(jīng)紗斷頭數(shù)為O.994根，標(biāo)準(zhǔn)差為0.16根。問,新工藝上漿率能否推廣(α=0.05)? 解: 3.某電器零件的平均電阻一直保持在2.64Ω，改變加工工藝后，測(cè)得100個(gè)零件的平均電阻為2.62Ω，如改變工藝前后電阻的標(biāo)準(zhǔn)差保持在O.06Ω，問新工藝對(duì)此零件的電阻有無顯著影響(α=0.05)? 解: 已知標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.16,拒絕域?yàn)?取, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,接受, 即, 以95%的把握認(rèn)為新工藝對(duì)此零件的電阻有顯著影響. 4.有一批產(chǎn)品，取50個(gè)樣品，其中含有4個(gè)次品。在這樣情況下，判斷假設(shè)H0：p≤0.05是否成立(α=0.05)? 解: 采用非正態(tài)大樣本統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法,拒絕域?yàn)?, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量<1.65,接受H0：p≤0.05. 即, 以95%的把握認(rèn)為p≤0.05是成立的. 5.某產(chǎn)品的次品率為O.17，現(xiàn)對(duì)此產(chǎn)品進(jìn)行新工藝試驗(yàn)，從中抽取4O0件檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有次品56件，能否認(rèn)為此項(xiàng)新工藝提高了產(chǎn)品的質(zhì)量(α=0.05)? 解: 采用非正態(tài)大樣本統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法,拒絕域?yàn)? ,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 >-1.65, 接受, 即, 以95%的把握認(rèn)為此項(xiàng)新工藝沒有顯著地提高產(chǎn)品的質(zhì)量. 6.從某種試驗(yàn)物中取出24個(gè)樣品，測(cè)量其發(fā)熱量，計(jì)算得=11958，樣本標(biāo)準(zhǔn)差=323，問以5％的顯著水平是否可認(rèn)為發(fā)熱量的期望值是12100(假定發(fā)熱量是服從正態(tài)分布的)? 解: 總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知,拒絕域?yàn)? =11958, =323,, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 >2.0687,拒絕,接受 即, 以95%的把握認(rèn)為試驗(yàn)物的發(fā)熱量的期望值不是12100. 7．某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)裝罐頭食品，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，每隔一定時(shí)間需要檢查機(jī)器工作情況?，F(xiàn)抽得10罐，測(cè)得其重量為(單位：克):195，510，505，498，503，492，ii02，612，407，506.假定重量服從正態(tài)分布，試問以95％的顯著性檢驗(yàn)機(jī)器工作是否正常? 解: ,總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知,拒絕域?yàn)?經(jīng)計(jì)算得到=502, =6.4979,取,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 <2.2622, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為機(jī)器工作是正常的. 8.有一種新安眠藥，據(jù)說在一定劑量下，能比某種舊安眠藥平均增加睡眠時(shí)間3小時(shí)，根據(jù)資料用某種舊安眠藥時(shí)，平均睡眠時(shí)間為20.8小時(shí)。標(biāo)準(zhǔn)差為1.6小時(shí)，為了檢驗(yàn)這個(gè)說法是否正確，收集到一組使用新安眠藥的睡眠時(shí)間為26.7，22.O，24.1，21.O，27 .2，25.0，23.4。試問：從這組數(shù)據(jù)能否說明新安眠藥已達(dá)到新的療效(假定睡眠時(shí)間服從正態(tài)分布，α=0.05)。 解: ,已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ =1.6,拒絕域?yàn)?經(jīng)計(jì)算得到=24.2,取,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 >-1.65, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為新安眠藥已達(dá)到新的療效. 9．測(cè)定某種溶液中的水份，它的l0個(gè)測(cè)定值給出=0.452%,=O.037%，設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布,為總體均值,為總體的標(biāo)準(zhǔn)差,試在5％顯著水平下,分別檢驗(yàn)假(1)H0: =O.5％; (2)H0: =O.04％。 解:(1)H01: =O.5％,, 總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知,拒絕域?yàn)? =0.452%,=O.037%,取,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 >2.2622,拒絕H0: =O.5％, (2) H02:=0.04%, H12:≠0.04%,拒絕域?yàn)?取α=0.05, ,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 即,接受H02:=0.04%. 10.有甲、乙兩個(gè)試驗(yàn)員，對(duì)同樣的試樣進(jìn)行分析，各人試驗(yàn)分析結(jié)果見下表(分析結(jié)果服從正態(tài)分布), 試問甲、乙兩試驗(yàn)員試驗(yàn)分析結(jié)果之間有無顯著性的差異(α=0.05)? 試驗(yàn)號(hào)碼 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 4.3 3.2 3.8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 解:(1)拒絕域?yàn)?取α=0.05, ,經(jīng)計(jì)算 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 接受 (2) 拒絕域?yàn)? , 并樣本得到=0.2927, =0.5410, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 <2.1448, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為甲、乙兩試驗(yàn)員試驗(yàn)分析結(jié)果之間無顯著性的差異. 11.為確定肥料的效果，取1000株植物做試驗(yàn)。在沒有施肥的100株植物中，有53株長(zhǎng)勢(shì)良好；在已施肥的900株中，則有783株長(zhǎng)勢(shì)良好，問施肥的效果是否顯著(α=O.01)? 解:(1)拒絕域?yàn)?取α=0.01, ,計(jì)算 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 , 拒絕 (2) 拒絕域?yàn)? 并樣本得到=0.1266, =0.3558, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 <2.4121, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為施肥的效果有顯著性的差異. (備注: =1.43+(1.43-1.69)*0.5=1.3, =1.36+(1.36-1.53)*0.5=1.275) 12.在十塊地上同時(shí)試種甲、乙兩種品種作物，設(shè)每種作物的產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計(jì)算得=30.97,=21.79,=26.7,=12.1。這兩種品種的產(chǎn)量有無顯著差別(α=O.01)? 解:(1)拒絕域?yàn)?取α=0.01, ,有題設(shè) 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 接受 (2) ,拒絕域?yàn)?, 并樣本得到=(9712.89+9146.41)/18=429.6500, =20.7280, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 >-2.5524, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為此兩品種作物產(chǎn)量有顯著差別,并且是第一種作物的產(chǎn)量顯著高于第二種作物的產(chǎn)量. 13.從甲、乙兩店備買同樣重量的豆，在甲店買了10次，算得=116.1顆，=1442；在乙店買了13次，計(jì)算=118顆，=2825。如取α=0.01，問是否可以認(rèn)為甲、乙兩店的豆是同一種類型的(即同類型的豆的平均顆數(shù)應(yīng)該一樣)？ 解:(1)拒絕域?yàn)? 取α=0.01, ,,有題設(shè) 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 接受 (2) ,拒絕域?yàn)?, 并樣本得到=(2823+1442)/11=387.7273, =19.6908, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 <3.1058, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為此甲、乙兩店的豆是同一種類型的. 14.有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同樣產(chǎn)品，從此兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取若干產(chǎn)品，測(cè)得產(chǎn)品直徑(單位：Illm)為機(jī)床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9; 機(jī)床乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2.試比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無顯著差異（α=5％)? 解:(1)拒絕域?yàn)?, 取α=0.05, ,經(jīng)計(jì)算 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 , 接受 (2) 拒絕域?yàn)? ,, 并樣本得到 =0.5474, 由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 <2.1604, 接受 即, 以95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度結(jié)果之間無顯著性的差異. 15．某工廠所生產(chǎn)的某種細(xì)紗支數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中，隨機(jī)抽16縷進(jìn)行支數(shù)測(cè)量，求得樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.1，問紗的均勻度是否變劣? 解: 拒絕域?yàn)?取α=0.05, ,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 即, 拒絕H0:=1.2 即, 以95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的紗的均勻度是變劣了。 16．從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長(zhǎng)度為(單位：m):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12, 2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.設(shè)釘長(zhǎng)分布為正態(tài)，試在下列情況下求總體期望值的90％置信區(qū)間： (1)已知=0.Ol(cm)；(2) 為未知。 解: >> y1=[2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11] >>mean(y1),得到點(diǎn)估計(jì) 0.1250, n=16 (1) 已知=0.Ol,樣本統(tǒng)計(jì)量,取 包含總體期望值的90％置信區(qū)間為 (2) 為未知, 樣本統(tǒng)計(jì)量,取 包含總體期望值的90％置信區(qū)間為 17.包糖機(jī)某日開工包了12包糖，稱得的重量(單位：兩)分別為10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，9.7，9.8，10.1，10.0，9.9, 9.8,10.3，假設(shè)重量服從正態(tài)分布，試由此數(shù)據(jù)對(duì)糖包的平均重量作置信度為95%的區(qū)間估計(jì)。 解: >>x10=[10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.9 9.8 10.3] >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x10,0.05) 得到平均重量點(diǎn)估計(jì) mu = 10.0917, 置信區(qū)間為 muci =[9.9281,10.2553], sigma = 0.2575, 置信區(qū)間為 sigmaci =[0.1824,0.4371] 18.某電子產(chǎn)品的某一參數(shù)服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取15只產(chǎn)品，測(cè)得該參數(shù)為3.0,2.7,2.9,2.8,3.1,2.6,2.5,2.8,2.4,2.9,2.7,2.6,3.2,3.0,2.8。試對(duì)該參數(shù)的期望值和方差作置信度分別為95%和99％的區(qū)間估計(jì)。 解: >> x12=[3.0 2.7 2.9 2.8 3.1 2.6 2.5 2.8 2.4 2.9 2.7 2.6 3.2 3.0 2.8] 取定=0.05, >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.05) 得到參數(shù)的期望值點(diǎn)估計(jì)mu =2.8000, 95%置信區(qū)間為muci =[2.6762, 2.9238]; 方差點(diǎn)估計(jì)sigma =0.2236, 95%置信區(qū)間為sigmaci=[0.1637, 0.3527] 取定=0.05, >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.01) 得到參數(shù)的期望值點(diǎn)估計(jì)mu=2.8000, 99%置信區(qū)間為muci=[2.6281,2.9719] 方差點(diǎn)估計(jì)sigma =0.2236, 99%置信區(qū)間為sigmaci=[0.1495,0.4145] 19.為了在正常條件下，檢驗(yàn)一種雜交作物的兩種新處理方案，在同一地區(qū)隨機(jī)挑選8塊地段，在各個(gè)試驗(yàn)地段，按兩種方案種植作物，這8塊地段的單位面積產(chǎn)量是 一號(hào)方案產(chǎn)量 86 87 56 93 84 93 75 79 二號(hào)方案產(chǎn)量 80 79 58 91 77 82 74 66 假設(shè)這兩種產(chǎn)量都服從正態(tài)分布，試求這兩個(gè)平均產(chǎn)量之差的置信度為95％的置信區(qū)間。 解： >> x=[86 87 56 93 84 93 75 79],>> mean(x) 得到 >> y=[80 79 58 91 77 82 74 66],>> mean(y) 得到 計(jì)算，得到, 取定=0.05, 由樣本統(tǒng)計(jì)量 最后，得到的置信水平為95%的一個(gè)置信區(qū)間為 20.設(shè)兩位化驗(yàn)員A、B獨(dú)立地對(duì)某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測(cè)定，其測(cè)定值的方差依次為0.5419和0.6065，設(shè)和分別是A、B兩化驗(yàn)員測(cè)量數(shù)據(jù)總體的方差，且總體服從正態(tài)分布，求方差比/的置信度為90％的置信區(qū)間。 解:,取α=0.1,， 方差比/的置信度為90％的置信區(qū)間為 解析: （1）散點(diǎn)圖如下； （2）方法一：設(shè)線性回歸方程為，則 ∴時(shí)，取得最小值， 即，∴時(shí)取得最小值． 所以線性回歸方程為． 方法二：由系數(shù)公式可知， ，所以線性回歸方程為． （３）ｘ＝１００時(shí)，，所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)１００噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低噸標(biāo)準(zhǔn)煤． 點(diǎn)評(píng)：本題考查回歸分析的基本思想，是課標(biāo)區(qū)三年來考查的唯一的一道解答題。求線性回歸方程的方法一這實(shí)際上是重復(fù)了回歸系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，這里的另一個(gè)解決方法是對(duì)我們?cè)侔醇?xiàng)， 即，而這個(gè)時(shí)候，當(dāng)時(shí)有最小值，結(jié)合上面解法中時(shí)有最小值，組成方程組就可以解出，的值；方法二前提是正確地使用回歸系數(shù)的計(jì)算公式，一般考試中都會(huì)給出這個(gè)公式，但要注意各個(gè)量的計(jì)算；最后求出的是指的平均值或者是估計(jì)值，不是完全確定的值．對(duì)于本題我們可以計(jì)算題目所給的數(shù)據(jù)組的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)．這說明，具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，說明解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率是，即耗煤量的是來自生產(chǎn)量，只有約來自其它因素，這與我們的直觀感覺是十分符合的．