數(shù)學規(guī)范答題示例2 導數(shù)與不等式的恒成立問題 理

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1、規(guī)范答題示例2導數(shù)與不等式的恒成立問題典例典例2(12分)設函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.規(guī)規(guī) 范范 解解 答答分分 步步 得得 分分(1)證明證明f(x)m(emx1)2x.1分若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0；當x(0，)時，emx10，f(x)0.若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0；當x(0，)時，emx10，f(x)0.4分所以，f(x)在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增.6分(2)解解由(1)知，對任意

2、的m，f(x)在1,0上單調遞減，在0,1上單調遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是設函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1. 9分當t0時，g(t)0；當t0時，g(t)0.故g(t)在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增.又g(1)0，g(1)e12e0，故當t1,1時，g(t)0.當m1,1時，g(m)0，g(m)0，即式成立；10分當m1時，由g(t)的單調性，得g(m)0，即emme1；當m1時，g(m)0，即emme1.11分綜上，m的取值范圍是1,1.12分構構 建建 答答 題題 模模 板板第一步求導數(shù)：求

3、導數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f(x)第二步定區(qū)間：定區(qū)間：根據(jù)f(x)的符號確定函數(shù)的單調區(qū)間第三步尋條件：尋條件：一般將恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題第四步寫步驟：寫步驟：通過函數(shù)單調性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉化為不等式組恒成立第五步再反思：再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等.評分細則評分細則(1)求出導數(shù)給1分；(2)討論時漏掉m0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分；(3)確定f(x)符號時只有結論無中間過程扣1分；(4)寫出f(x)在x0處取得最小值給1分；(5)無最后結論扣1分；(6)其他方法構造函數(shù)同樣給分解答(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)單調遞增極大值單調遞減因此函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，)，極大值為f(1)1，無極小值.解答(2)若對任意的x1，恒有l(wèi)n(x1)k1kx成立，求k的取值范圍；解解因為x1，所以f(x1)maxk，所以k1.證明當且僅當x1時取等號令xn2 (nN*，n2)