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1、一 圓柱和圓錐
一、圓柱的認識和表面積
1.認識圓柱。
圓柱是由兩個大小相等的圓和一個側(cè)面組成的。
(1)圓柱的底面:圓柱的上、下兩個面,叫作圓柱的底面。圓柱的上、下兩個面是大小相等的圓。
(2)圓柱的側(cè)面:圍成圓柱的曲面叫作圓柱的側(cè)面。圓柱的側(cè)面是曲面。
(3)圓柱的高:圓柱兩底面之間的距離,叫作圓柱的高。圓柱有無數(shù)條高。
(4)把圓柱的側(cè)面沿高剪開,展開后是長方形(或正方形)。
2.圓柱的表面積。
(1)圓柱的側(cè)面積。
圖中圓柱的側(cè)面展開圖是長方形,長方形的長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高。
長方形的面積= 長 × 寬
↓ ↓ ↓
圓柱
2、的側(cè)面積=底面周長×高
如果用C表示圓柱的底面周長,用d表示圓柱的底面直徑,用r表示圓柱的底面半徑,用h表示圓柱的高,用S表示圓柱的側(cè)面積,那么S=Ch或S=πdh或S=2πrh。
(2)圓柱的表面積。
圓柱的表面積是指圓柱的側(cè)面積與兩個底面的面積之和,即圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+兩個底面的面積。
如果用S側(cè)表示圓柱的側(cè)面積,用S表表示圓柱的表面積,用S底表示圓柱的底面積,那么S表=S側(cè)+2S底。
(3)特殊圓柱表面積的計算方法。
在實際生活中會遇到特殊的圓柱形物體,如:
①圓柱形煙囪(通風(fēng)管),兩頭都沒有底面,所以煙囪(通風(fēng)管)的表面積就是煙囪(通風(fēng)管)的側(cè)面積,等于底面周長
3、×高;
②無蓋的圓柱形水桶(魚缸),只有一個底面,因此它的表面積包括兩部分,即側(cè)面積和一個底面積,S表=S側(cè)+S底。
二、圓柱的體積
1.圓柱體積的意義。
一個圓柱所占空間的大小,叫作這個圓柱的體積。
2.圓柱體積公式的推導(dǎo)。
由上圖可知拼成的長方體和圓柱相比,形狀變了,體積沒變,長方體的體積等于圓柱的體積。
長方體的長等于圓柱底面周長的一半,長方體的寬等于圓柱的底面半徑。圓柱的底面積=πr2,長方體的底面積=C2×r=πr2,圓柱的底面積=長方體的底面積。
長方體的高等于圓柱的高。
長方體的體積=底面積×高
↓ ↓ ↓
圓柱的體積= 底面積×高
如果
4、用V表示圓柱的體積,用S表示圓柱的底面積,用h表示圓柱的高,那么圓柱的體積計算公式為V=Sh。
3.圓柱形容器容積的計算方法。
圓柱形容器容積的計算方法與體積的計算方法相同,圓柱形容器容積=底面積×高,用字母表示為V=Sh。
三、圓錐的認識和體積
1.圓錐的認識。
圓錐是由一個底面(圓形)和一個側(cè)面(曲面)兩部分組成的。
(1)圓錐的頂點:圓錐只有一個頂點。
(2)圓錐的底面:圓錐中圓形的面就是它的底面,它只有一個底面。
(3)圓錐的側(cè)面:圓錐周圍的面就是它的側(cè)面,圓錐的側(cè)面是一個曲面,展開后是一個扇形。
(4)圓錐的高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高,圓錐只有
5、一條高。
2.測量圓錐高的方法:
(1)先把圓錐的底面放平;
(2)把一塊平板水平放在圓錐的頂點上面;
(3)豎直測量出平板和底面之間的距離,這個距離就是圓錐的高。
3.直角三角形以任意一條直角邊所在的直線為軸,快速旋轉(zhuǎn)一周,它掃過的空間是圓錐形狀。
4.圓錐的體積。
先準(zhǔn)備好等底等高的圓柱和圓錐形容器,把圓柱形容器裝滿水,倒入圓錐形容器中,正好倒?jié)M3次。由此發(fā)現(xiàn):等底等高的圓柱和圓錐,圓柱的體積是圓錐的3倍,也可以說圓錐的體積是圓柱的13。
圓錐的體積公式=底面積×高×13,如果用V表示圓錐的體積,用S表示圓錐的底面積,用h表示圓錐的高,那么V=13Sh。
知識
6、巧記:
認識圓柱并不難,
上下兩個圓底面;
圓柱側(cè)面是曲面,
兩底之間高無數(shù)。
重點提示:
當(dāng)圓柱的底面周長與高相等時,將圓柱的側(cè)面沿高剪開,展開后是正方形。
易錯題:
把一根半徑是4分米、長2分米的實心圓柱形鋼材截成兩個小圓柱,表面積與原來相比(A)。
A.保持不變
B.增加了50.24平方分米
C.增加了100.48平方分米
錯解分析:將一根實心圓柱形鋼材截成兩個小圓柱后,在截口處增加了兩個底面,所以表面積比原來增加了3.14×42×2=100.48(平方分米)
正確答案:C。
重點提示:
把圓柱平均分成的份數(shù)越多,所拼成的形狀就越近似于長方體。
7、
知識巧記:
圓柱體積并不難,
底面積和高很關(guān)鍵;
單位一致記心間,
計算準(zhǔn)確體積現(xiàn)。
重點提示:
圓柱體積的計算公式:
V=Sh V=πr2h
V=π(d2)2h V=π(C÷π÷2)2h
重點提示:計算容積時,從容器的里面量需要的相關(guān)數(shù)據(jù);計算容積時一般用毫升和升作單位,也可以用體積單位。
知識巧記:
圓錐體積并不難,
它與圓柱有關(guān)聯(lián),
等底等高不能忘,
三分之一記心間,
題中條件要看清,
單位一致再計算。
易錯題:
判斷:圓錐有無數(shù)條高。 (×)
錯解分析:圓錐的高是從圓錐的頂點到底面圓心的距離,從圓錐的頂點到底面圓心只有一條線段,所以圓錐的高只有一條。
正確答案:?
4.鋼管體積的計算方法。
用鋼管底面的外圓面積減去內(nèi)圓面積再乘鋼管的長度,即用鋼管底面的環(huán)形面積×鋼管的長=鋼管的體積,用字母表示為:V=
π(R2-r2)×h。
重點提示:把一個圓柱削成一個最大的圓錐,這個圓錐與圓柱等底等高。
圓錐體積公式的靈活應(yīng)用:
V=13Sh
h=V÷13÷S
S=V÷13÷h
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